第 2 回
2 x 2 ゲームの ESS　その 1

　前回はレプリケーターダイナミクスについて解説しましたが、今回は進化ゲーム理論のもう一つの柱である、進化的に安定な戦略（ESS）について説明することにしましょう。

　ESS とは大ざっぱにいうと「他の戦略が侵入できないような戦略」のことです。集団全体をある戦略が占めているとき、他のいかなる戦略も侵入できないような戦略が ESS です。一方、複数の戦略が共存している状態が安定である場合、この状態を多型安定といいます。これらはいずれもレプリケーターダイナミクスの漸近安定点として統一的に理解することができます。

　ここで侵入戦略について若干の注釈が必要です。ESS を定義する時に、「他のいかなる戦略も」という部分がありますが、「いかなる戦略」とは文字どおりあらゆる戦略というわけではなく、あらかじめ定義しておいた戦略の集合（戦略セット）に含まれる（他の）すべての戦略を意味します。したがって、ESS を定義する時には、あらかじめ、考察の対象となる戦略の集合を定義しておかなければなりません。

　戦略セットを定義した場合でも、侵入戦略の候補の立て方には 2 つの方法がありえます。ひとつは戦略セットに含まれる純粋戦略のみを侵入戦略の候補とする方法です。もうひとつは、戦略セットに含まれる純粋戦略をサポートとする（純粋戦略を組み合わせてできる）すべての混合戦略を侵入戦略の候補とする方法です。メイナード・スミスのテキストなどでは、後者を侵入戦略の候補としていますが、通常のレプリケーターダイナミクスでは、純粋戦略をレプリケーター（複製子）として考えますので、前者を侵入戦略の候補とする方が整合的です。

　ここでは侵入戦略の候補を混合戦略にまでは拡大せず、戦略セットに含まれる純粋戦略のみが侵入する場合について、話を進めて行きましょう。簡単のためにまず、2 人 2 戦略対称ランダムマッチングゲームについて考えることにします。

　十分に大きなプレーヤーの集団があって、相互作用がランダムに行われているものとします。戦略としては、純粋戦略 A と純粋戦略 B が存在するものとしましょう。戦略 A が戦略 A と相互作用すると、進化ゲーム利得が a だけ増加するような結果が生じます。また戦略 A が戦略 B と相互作用すると進化ゲーム利得が b だけ増加します。同様に、戦略 B が戦略 A と相互作用すると進化ゲーム利得が c だけ増加し、戦略 B が戦略 B と相互作用すると進化ゲーム利得が d だけ増加するとします。（a, b, c, d は負の場合もありえますが、そのときは進化ゲーム利得は減少します）

　この状況は、次の利得行列で表現できます。

　次に、集団における、戦略 A のシェアを x、戦略 B のシェアを y とします（x + y = 1）。このとき、集団が十分に大きくて相互作用がランダムに行われているのであれば、あるプレーヤーと相互作用するプレーヤーの戦略が A である確率は x、B である確率は y となります。これより、戦略 A のプレーヤーが 1 回の相互作用を行った時の期待利得 u_A (x) は
　　　　　u_A (x) = a x + b y
戦略 B のプレーヤーが 1 回の相互作用を行った時の期待利得 u_B (x) は
　　　　　u_B (x) = c x + d y
集団の平均利得 u (x) は
　　　　　u (x) = x ・ u_A (x) + y ・ u_B (x)
　　　　　　　　= x (a x + b y) + y (c x + d y)
となります。

　このときレプリケーターダイナミクスの支配方程式（第 1 回 (4) 式）は
　　　　　dx / dt = (u_A (x) - u (x) ) x
　　　　　　　　　= (a x + b y - x (a x + b y) - y (c x + d y) ) x　　−　(5)
となります。y = 1 - x より dy / dt = - dx /dt なので、(5) 式について考えればこの系の挙動を知ることができます。

　ここで例えば、x = 1, y = 0 とすると
　　　　　dx / dt = (a - a) ・ 1 = 0
なので、集団全体を戦略 A が占める状態は定常であることが分かります。では、この定常点は安定なのでしょうか、不安定なのでしょうか。それを判断するには、局所安定性解析が有効です。（局所安定性解析についてはニューズレター 7/8 を参照）

　　　　　dx / dt = f (x) = (a x + b y - x (a x + b y) - y (c x + d y) ) x
を dy / dx = - 1 に注意して x で微分すると
　　　　　f ' (x) = (a x + b y - x (a x + b y) - y (c x + d y) )
　　　　　　　　　+ (a - b - 2 a x - b y + b x - c y + c x + 2 d y) x
x = 1, y = 0 を代入すると
　　　　　f ' (1) = a - a + a - b - 2 a + b + c = c - a
となります。定常点における微分係数が負ならば定常点は安定（漸近安定）、正ならば定常点は不安定、なので
　　　　　c - a < 0 （a > c)　のとき　(1, 0) は漸近安定
　　　　　c - a > 0 (a < c)　のとき　(1, 0) は不安定 　−　(6)
であることがわかります。

　a > c はメイナード・スミスの表記にしたがうと u (A, A) > u (B, A) となりますが、このときは、(1, 0) は漸近安定なので、(1, 0) から状態がずれても、そのずれが小さければまた元の状態 (1, 0) に戻ることができます。つまり、集団が A ばかりのところに B が侵入してきても、そのシェアが十分小さければ B のシェアは増加することはできず、集団はまた A ばかりの状態に戻って行きます。このような状況を「B は A に侵入できない」といいます。そして、このとき A は進化的に安定な戦略（Evolutionarily Stable Strategy；ESS）となります。（厳密には戦略セットを｛A, B｝としたときの ESS です）

　逆に、a < c　すなわち u (A, A) < u (B, A) のときには、(1, 0) は不安定なので、状態が (1, 0) から少しずれると、そのずれがどんどん拡大して (1, 0) から離れて行ってしまいます。つまり、集団が A ばかりのところに B が侵入してくると、そのシェアが小さくても B のシェアは増加し、A の独占状態は崩れてしまいます。この状況を「B は A に侵入可能」といいます。このとき、A は進化的に安定な戦略ではありません。

　B が A に侵入したあとは、どうなるのでしょうか？　B が A を駆逐して、集団が B だけになるかもしれませんし、B の増加がある時点で止まって、A と B が共存した状態で安定するかも知れません。前者の場合は「B が ESS」となりますし、後者の場合は「多型安定」となります。いずれになるかは、集団が B ばかりの状態、すなわち状態 (0, 1) の局所安定性を調べれば分かります。(0, 1) が漸近安定ならば B が（唯一の）ESS ですし、不安定ならば多型安定となります。

　さて、a > c のときは漸近安定、a < c のときは不安定と分かりましたが、a = c のときは、どうなるのでしょう？　通常の、局所安定性解析では f ' (1) = 0 のときは「リャプノフ安定」という判定となりますが、実はこれは f (x) をテーラー展開した時の 2 次以下の項を無視した時の議論です（ニューズレター 7/8 参照）。厳密には、f ' (1) = 0 のときは 2 次以下の項を無視できなくなりますので、ここでは 2 次以下の項も考慮に入れて分析を進めてみましょう。

　　　　　dx / dt = f (x) = (a x + b y - x (a x + b y) - y (c x + d y) ) x
を dy / dx = - 1 に注意して x で 2 階微分すると、
　　　　　f '' (x) = a - b - (a x + b y) - x (a - b) + (c x + d y) - y (c - d)
　　　　　　　　　+ (a - b - 2 a x - b y + b x - c y + c x + 2 d y)
　　　　　　　　　+ (-2 a + 2 b + 2 c - 2 d) x
　　　　　　　　= 2 a - 2 b + (-6 a + 4 b + 4 c - 2 d) x + (-2 b - 2 c + 4 d) y
x = 1, y = 0 を代入すると
　　　　　f '' (1) = 2 a - 2 b - 6 a + 4 b + 4 c - 2 d
　　　　　　　　= -4 a + 2 b + 4 c - 2 d
今は a = c  の場合を考えているので、これを代入すると
　　　　　f '' (1) = 2 (b - d)
となります。

　2 次近似の局所安定性解析を行うために、f (x) を x = 1 のまわりで 2 次の項までテーラー展開すると
　　　　　dx / dt = f (x) = f (1) + f ' (1) (x - 1) + f '' (1) (x - 1)² / 2!
　　　　　　　　　　　　　 + 3 次以下の項
3 次以下の項を無視すると、f (1) = 0, f ' (1) = c - a = 0, f '' (1) = 2 (b - d) なので
　　　　　dx / dt = (b - d) (x - 1)²

　ここで v = x - 1 とすると、（x <= 1 なので v <= 0）
　　　　　dv / dt = (b - d) v²
これは変数分離形なので、簡単にとけて
　　　　　v = -1 / k (t - 1 / k v₀)　　ただし k = b - d, v₀ < 0 は初期値
となります。

　これより、
　　　　　k = b - d > 0 のとき　v -> 0  となり、(1, 0) は漸近安定
　　　　　k = b - d < 0 のとき　v -> - ∞ となり、(1, 0) は不安定
となることが分かります。

　メイナード・スミスの表記に従うと、b = u (A, B), d = u (B, B) なので
　　　　　u (A, B) > u (B, B) のとき、戦略 A は ESS
　　　　　u (A, B) < u (B, B) のとき、戦略 A は ESS ではない　−　(7)
という結果が得られます。

　最後に b - d = 0 の場合が残ります。この場合は f '' (1) = 2 (b - d) も 0 となるので、テーラー展開の 3 次の項まで考える必要がありそうです。しかし、実は a = c, b = d を (5) 式に代入すると、恒等的に dx / dt = f (x) = 0 となるので、任意の x についてリャプノフ安定となります。したがって、
　　　　　 a = c, b = d のとき状態 (1, 0) はリャプノフ安定　−　(8)
です。（ちなみに 3 次の項を考えても f ''' (x) = 0 となるので結果は同じです）

　集団全体をある戦略が占める状態がリャプノフ安定であるとき、この戦略を中立的に安定な戦略（Neutral Stable Strategy；NSS）ということがあります。

　(6), (7), (8) の結果をまとめると、次の結論が得られます。

　　　　　u (A, A) > u (B, A)　のとき　戦略 A は ESS
　　　　　u (A, A) < u (B, A)　のとき　戦略 A は ESS ではない
　　　　　u (A, A) = u (B, A)　のときは
　　　　　　　u (A, B) > u (B, B)　のとき、戦略 A は ESS
　　　　　　　u (A, B) < u (B, B)　のとき、戦略 A は ESS ではない
　　　　　　　u (A, B) = u (B, B)　のとき、戦略 A は NSS　　−　(9)

　以上のように、2 x 2 のランダムマッチングゲームの場合は、それぞれの戦略が相互作用した時の利得がわかれば、ある戦略が ESS であるかないかを判断できることが分かります。

　次回は、多型安定の場合について考察したのちに、代表的な 2 x 2 ゲーム（調整ゲーム、タカ・ハトゲーム、囚人のジレンマゲーム）の ESS について考えてみましょう。

★　メイナード・スミスやウェイブルのテキストでは、
　　　　　侵入戦略の利得＜現役戦略の利得
という形で、ESS を定義しています（あらゆる侵入戦略について、これが成り立つ戦略が ESS というロジック）。これは、直感的に理解しやすい定義ですが、レプリケーターダイナミクスとの関連が分かりにくいという難点があります（ウェイブルのテキストでは、エントロピー関数を導入して、ESS なら漸近安定、という命題を証明しています）。そこでここでは、レプリケーターダイナミクスの漸近安定点を ESS （および多型安定点）として定義することにしました。侵入戦略の範囲さえ明確にすれば、メイナード・スミスの定義と等価になるので、以下では、この定義に基づいて議論を進めましょう。