第 1 回
進化ゲーム利得とレプリケーターダイナミクス

　進化ゲーム理論の基本的なアイデアは、「よく増える戦略ほどよく増える」というところにあります。この一見、トートロジーに思えるアイデアに、数学的な表現を与えたものがレプリケーターダイナミクスということができます。

　あるプレーヤーの集団があって、そこで n 個の純粋戦略が用いられている状況を考えましょう。戦略 i を採用しているプレーヤの数を p_i、戦略 i を採用しているプレーヤの全体に占めるシェアを x_i、戦略のシェア分布を示すベクトルを x = (x₁, x₂, ..., ,x_n) として、x_i の時間変化をしめす微分方程式を求めてみましょう。

　まず、p_i の（内的自然）増加率をλ_i とします。すなわち
　　　　　dp_i / dt = λ_i p_i
とします。このとき、λ_i が時間的に一定であるならば、
　　　　　p_i (t) = p_i (0) ・ exp (λ_i t)
となり、p_i は指数関数的に増加（減少）することになります。

　ここで λ_i を、戦略に無関係な成分と、戦略に依存する成分に分解することにします。戦略に無関係な成分を λ、戦略に依存する成分を u_i と書くことにしましょう。u_i は一般に集団の戦略分布 x にも依存しますので u_i (x) と書くことができます。このとき p_i の支配方程式は
　　　　　dp_i / dt = (λ + u_i (x) ) p_i　　　−　(1)
となります。

　この式に登場する u_i (x) が、進化ゲーム理論における戦略の「利得」になります。すなわち、進化ゲームにおける利得とは、戦略の採用人数の時間増加率（のバックグラウンドからの増減）を示す概念です。これを、通常のゲーム理論におけるフォンノイマン・モルゲンシュテルン効用と区別して、＜進化ゲーム利得＞と呼ぶことにしましょう。(1) 式が進化ゲーム利得の定義式です。以下では単に利得という場合には、この進化ゲーム利得を指すものとしましょう。

　進化ゲーム利得と、フォンノイマン・モルゲンシュテルン効用との関係が問題になるところですが、この問題はのちに考察することにして、ここでは、以上のように利得を定義した時に、戦略ｉの頻度の変化率 dx_i / dt がどうなるかを考えて見ましょう。

　p を、集団の人数（Σp_i）とすると、x_i = p_i / p と書けます。これより
　　　　　p_i = x_i p
両辺を t で微分して
　　　　　dp_i / dt = dx_i / dt ・ p + x_i ・ dp / dt
移項して、
　　　　　dx_i / dt ・ p = dp_i / dt - x_i ・ dp / dt　−　(2)

　ここで　dp / dt = Σ dp_j / dt
　　　　　　 　= Σ (λ + u_j (x) ) p_j
　　　　　　　 = λ p + Σ u_j (x) p_j　　−　(3)

　(3) と (1) を (2) に代入すると
　　　　　dx_i / dt ・ p = (λ + u_i (x) ) p_i - x_i (λ p + Σ u_j (x) p_j )
　　　　　　　　　　= λ p_i + u_i (x) p_i - x_i λ p - x_i Σ u_j (x) p_j
両辺を p で割って
　　　　　dx_i / dt = λ x_i + u_i (x) x_i - λ x_i - x_i Σ u_j (x) x_j
　　　　　　　　　　= u_i (x) x_i - x_i Σ u_j (x) x_j

　Σ u_j (x) x_j は、集団の平均利得なのでこれを u (x) と書くことにすると

　　　　　dx_i / dt = ( u_i (x) - u (x) ) x_i　　−　(4)

という微分方程式が得られます。これがレプリケーターダイナミクスの支配方程式で、(4) 式に従うダイナミクスをレプリケーターダイナミクスといいます。

　(4) 式は、平均より利得の高い戦略は、そのシェアが増加することを示しています。進化ゲームにおける利得は、戦略の増加率（再生産効率）の大小を意味しますので、「良く増える戦略ほど（そのシェアが）よく増える」ことが分かります。また、(1) 式で定義された進化ゲーム利得を用いると、シェアの増加率が平均利得からの偏差に比例するというきれいな結果が得られます。

　このようにレプリケーターダイナミクスは微分方程式系であらわされますので、その挙動を分析するには、定常点（静止点）を求めて局所安定性解析、という方法が有効です。レプリケーターダイナミクスを局所安定性解析すると ESS （進化的に安定な戦略）を求めることができます。次回は、２×２（２人２戦略）対称ランダムマッチングゲームについて、この方法で ESS を求めてみましょう。

★　「進化ゲーム利得」という言葉は、メイナード・スミスやウェイブルのテキストには出てきません。ウェイブルのテキストでは

　　　　「戦略の利得を u_i (x) とするときに dp_i / dt = (λ + u_i (x) ) p_i が成立するならば」

という形でレプリケーターダイナミクスの導出が行われ、（おそらく）フォンノイマン・モルゲンシュテルン効用が (1) 式を満たすならば (4) 式が成立する、というロジックになっています。しかしフォンノイマン・モルゲンシュテルン効用が (1) 式を満たすという保証は何もないので、むしろ (1) 式を満たす利得を「進化ゲーム利得」として明示的に定義し、「進化ゲーム利得」と「NＭ効用」との関連について改めて考察する、というスタンスの方が議論がクリアになります。このようなわけで、本講座では (1) 式を満たす利得を進化ゲーム利得として、以下の議論を進めることにしましょう。