みなさん、こんにちは。

　７月８日の研究会は
　　　・入門編　局所安定性解析　（大浦会員）
　　　・「中小政党の政権参加は損か」（鬼塚会員）
　という内容でした。

　　内容は次の通り。

　【局所安定性解析】

　　微分方程式の定常点（均衡点、静止点）が安定であるか不安定である
　かを分析することを局所安定性解析という。
　　一般に均衡点とは、その状態から動かない点のことで、微分方程式
　dx/dt＝f(x)　の均衡点は、f(x)＝０をみたすようなｘである。均衡点は、
　そこから状態が少しずれたときに、そのままどんどん状態が均衡点から
　離れていってしまう不安定均衡点と、ずれが小さければ、状態が均衡点
　に戻ってくる漸近安定点に分類できる（厳密には、状態が均衡点の近傍
　に留まるリャプノフ安定点がある）。ある均衡点が、安定か不安定かを
　知ることは応用上重要である。

　　まず１変数の微分方程式で考えてみよう。微分方程式　dx/dt＝f(x)　
　の均衡点がｐであるとする。すなわち　f(p)＝０　であると仮定する。
　このときf(x)を　ｘ＝ｐ　のまわりでテーラー展開すると、
　　　　f(x)＝f(p)＋f'(p)(x−p)＋f''(p)(x−p)(x−p)/2!＋‥‥
　となる。仮定より　f(p)＝０　である。また(x−p)は十分小さいと仮定
　すると２次以上の項は無視できるので
　　　　f(x)＝f'(p)(x−p)
　と近似することができる。これより
　　　　dx/dt＝f'(p)(x−p)
　なので、
　　　　x−p＝(x0−p)exp［f'(p)t］
　　∴　x＝p＋(x0−p)exp［f'(p)t］
　となる。これより　f'(p)＞０　のときは、ｘはｐからどんどん離れてい
　くのでｐは不安定均衡点である。一方　f'(p)＜０　のときは　t→∞　
　のときに、 x→p　となるのでｐは漸近安定点である。（f'(p)＝０のと
　きはリャプノフ安定点）。　
　
　　次に、２変数の場合を考える。微分方程式系
　　　　dx/dt＝Ｆ(x,y)
　　　　dy/dt＝Ｇ(x,y)
　において、ｘ＝ｐ、ｙ＝ｑが均衡点であるとする。すなわち
　　　　Ｆ(p,q)＝Ｇ(p,q)＝０
　と仮定する。ＦとＧをｘ＝ｐ、ｙ＝ｑのまわりでテーラー展開すると、
　　　　Ｆ(x,y)＝Ｆ(p,q)＋Ｆx(p,q)(x−p)＋Ｆy(p,q)(y−q)＋高次の項
　　　　Ｇ(x,y)＝Ｇ(p,q)＋Ｇx(p,q)(x−p)＋Ｇy(p,q)(y−q)＋高次の項
　となる。
　　Ｆ(p,q)＝Ｇ(p,q)＝０　を代入して、高次の項を無視すると
　　　　dx/dt＝Ｆ(x,y)＝Ｆx(p,q)(x−p)＋Ｆy(p,q)(y−q)
　　　　dy/dt＝Ｇ(x,y)＝Ｇx(p,q)(x−p)＋Ｇy(p,q)(y−q)
　となる。ここで、
　　　　x−p＝Ａexp［ｒt］
　　　　y−q＝Ｂexp［ｒt］
　とおいて、上の式に代入すると
　　　　ｒＡ＝Ｆx(p,q)Ａ＋Ｆy(p,q)Ｂ
　　　　ｒＢ＝Ｇx(p,q)Ａ＋Ｇy(p,q)Ｂ
　が得られる。これは、ｒとＡ，Ｂがそれぞれ
　　　　　　Ｆx(p,q)　　Ｆy(p,q)
　　　　　　Ｇx(p,q)　　Ｇy(p,q)
　という行列（ヤコビ行列）の、固有値と固有ベクトルであることを示して
　いる。

　　ヤコビ行列の固有方程式が２実解を持つ時、固有値をｒ1、ｒ2 とする
　と、
　　　　x＝p＋Ａ1exp［ｒ1t］＋Ａ2exp［ｒ2t］
　　　　y＝q＋Ｂ1exp［ｒ1t］＋Ｂ2exp［ｒ2t］
　となる。ｒ1、ｒ2＞０のときは、ｘ、ｙはｐ、ｑからどんどん離れてい
　くので（p、q）は不安定均衡点である。一方、ｒ1、ｒ2＜０のときは、
　t→∞　のとき　(x,y)→(p、q)　となるので、漸近安定点になる。また、
　ｒ1＞０＞ｒ2　のときは、第１固有ベクトルに対する方向では発散、第
　２固有ベクトルに対する方向では収束するので、(p、q）は鞍点となる
　（つまり不安定） 。
　
　　固有方程式が２虚解を持つときは、固有値は複素数になる。このとき、
　２つの固有値の実部をλ1、λ2とすると、(p,q)は
　　　　λ1、λ2＞０　のときに不安定均衡点
　　　　λ1、λ2＜０　のときに漸近安定点
　となる。

　　以上のように、２変数の場合は、ヤコビ行列の固有値を用いて、均衡
　点の安定性を判定することができる。３変数以上の場合についても、同
　様の議論を行うことができる。

　　研究会では、具体的な微分方程式系について、局所安定性解析の練習
　を行いました。

　【中小政党の政権参加は損か】　（鬼塚会員）

　　1993年の非自民政権の発足以来、日本でも連立政権の時代が続いてい
　る。この間にさまざまな政党が政権に参加したが、中小政党の政権参加
　のバランスシートはおおむね良くないようだ。自社さ政権に参加した社
　会党（社民党）の議席は激減したし、自公保政権の公明党も先の衆議院
　選挙で大幅に議席を減らしている。これらの政党にとってなぜ政権への
　参加がプラスの効果を持たなかったのか、検討してみよう。

　　中小政党の政権参加については従来、政策要因と業績評価要因の２面
　についてプラスにならないと指摘されている。連立政権の形成は各政党
　の政策の変更を多かれ少なかれ伴うが、一般に大政党より、小政党の方
　が変更の幅が大きくなると予測される。このため、小政党の側は、従来
　の支持者の離反を招きやすいために、政権参加がマイナスに働きやすい
　と考えられる。
　　自社さ政権における社会党は自衛隊合憲、日米安保堅持など、従来の
　政策とは異なる政策を打ち出したために、従来の支持者を失ったという
　点はよく指摘されるが、政策要因によるマイナスの事例の一つと考えら
　れる。
　
　　一方政権への参加は、政権内部で業績をあげることによって、支持者
　の支持を強化したり、新しい支持者を獲得したりするうえで、プラスの
　効果を持つことが期待される。しかし、実際には政府の業績は大政党の
　業績として認知され、小政党の業績としては認知されず、それゆえ小政
　党の支持拡大にはつながらない可能性も考えられる。
　　この点を検討するために、村山政権、橋本政権期の各月の内閣支持率、
　景気認知を説明変数、翌月の自民党支持率、社民党支持率を目的変数と
　して、重回帰分析を行った。その結果、

　　　　　　　y　　　　　自民党支持率　　　社民党支持率
　　　　　重決定係数　　　　　0.239　　　　　　0.352
　　　　　ベータ係数
　　　　　・内閣支持率　　　　0.162　　　 　　-0.082
　　　　　・景気認知　　　 　-0.077　　　　　　0.317　

　となり、内閣支持率は翌月の自民党支持率に影響を与えるが、社民党支
　持率にはほとんど影響がないことが明らかになった。内閣支持を政権の
　業績に対する評価と考えるならば、それは自民党の業績として認知され
　てその支持率に影響をあたえるが、社民党の業績としては認識されず、
　この支持率にも影響をあたえないことを示唆する結果であるといえる。
　景気については、良いという認識が翌月の社民党の支持率をあげる方向
　に働いている。原因の解釈は難しいが、景気が悪い時に自民党の支持が
　高まる（景気対策を望む）ことの裏返しでは、という意見が出された。

　　重回帰分析の結果は、業績評価が小政党の評価に結びつかない可能性
　を示唆しているが、そうであれば、政権への参加は政策の変化によるマ
　イナスをもたらすだけで、小政党に取ってプラスにはならないことが予
　測される。実際に、政策の変化によって従来の支持者が離れたのかどう
　か、定量的に分析してみる必要があろう。
　　また、日本の事例では、同時期に選挙制度が改変され小選挙区制が導
　入されたこと、新しい政党（新進党や民主党）が結成されたこと、の影
　響も考えられる。これらの点を考慮にいれて分析することも今後の課題
　である。
　

　次回の研究会は
　　　７月１５日　　１時から５時
　　　東工大大岡山キャンパス西４号館３１５
　で、内容は
　　　・入門編　　２種間の競争方程式
　　　・輪読　　　一般ダイナミクスとNash均衡（続き）
　　　・論文紹介（鈴木会員）
　の予定です。

　そのあとの予定。
　　　　７月２２日（土）　慶応大三田キャンパス
　　　　７月２９日（土）　東工大大岡山キャンパス

　夏休み前の研究会は、これで終わりです。

　では皆さん、また来週。

　　　　庶務担当　大浦

　 ＨＰ　http://qmss.t.u-tokyo.ac.jp/evogame/
　　メーリングリストの申し込み先
　　　　　YQN02163@nifty.ne.jp（大浦）