前回は、
A B A a b B c d
なる 2 x 2 ゲームの ESS
について考察しました。このゲームの状態空間は、A, B
各戦略のシェアを x, y とすると、
x + y = 1 （0 <= x <= 1, 0 <=
y <= 1）
という線分になります。この線分の端点 (1, 0) と (0, 1)
は常にレプリケーターダイナミクス
dx / dt = (a x + b
y - x (a x + b y) - y (c x + d y)
) x − (5)
の定常点となりますが（(5) 式は、第 2 回の再掲）、前回はこれらの端点の局所安定性を調べたことになります。(1,
0) が漸近安定の場合は戦略 A が ESS、(0, 1)
が漸近安定の場合は戦略 B が ESS となりました。
ところで、(5) 式は 3 次式なので定常点は最大で 3
個存在します。したがって、端点の他に状態空間の内部に定常点が存在することもありえます。今回は、このような内部定常点の安定性について吟味することにしましょう。
内点 (λ, 1 - λ) が (5) 式の定常点であるとします（0 <
λ < 1）。定常点では dx / dt = 0 なので、(5)
式に代入して計算すると
λ = (d - b) / (a - b - c + d)
0 < λ < 1 に代入して
0 < (d - b) / (a - b - c + d)
< 1
a - b - c + d > 0
のときには、分母をはらって
0 < d - b < a - b - c + d
よって c < a, b <
d − (10)
これは、a - b - c + d > 0 を満たす。
a - b - c + d < 0
のときには、分母をはらって
0 > d - b > a - b - c + d
よって c > a, b >
d − (11)
これは、a - b - c + d < 0 を満たす。
したがって、(10) か (11) のときに、(5) は内点定常点を持つことがわかります。ちなみに (10) のとき、戦略 A, B はともに ESS となります。また (11) のときは、戦略 A, B はいずれも ESS となりません。
次に、内点 (λ, 1 - λ) の局所安定性を調べましょう。
dx / dt = f (x) = (a x + b
y - x (a x + b y) - y (c x + d y)
) x
を x で微分して整理すると
f ' (x) = -3 (a - b - c + d)
x2 + 2(a - 2b - c + 2d) x +
b - d
これに、x = λ = (d - b) / (a - b - c
+ d) を代入して計算すると
f ' (λ) = (d - b) (a - c)
/ (a - b - c + d)
これより、(10) の c < a, b < d
が成立している時は
f ' (λ) = (d - b) (a - c)
/ (a - b - c + d) > 0
となるので、内点定常点は不安定となります。このときは、状態が
(λ, 1 - λ)
から少しでもずれると、そのずれはどんどん拡大してしまいます。(10)
のときは戦略 A, B はともに ESS なので、最終的には戦略 A か
B
が集団全体を占めた状態で安定します。どちらになるかは、はじめのずれの方向によって決まります。
一方、(11) の c > a, b > d が成立している時は
f ' (λ) = (d - b) (a - c) / (a - b - c + d) < 0
となるので、内点定常点は漸近安定となります。このときは、状態が
(λ, 1 - λ) からずれても、時間がたつとまた状態 (λ, 1 - λ)
に戻ってきます。この場合は複数の戦略 A, B
が共存した状態が安定となります。この状態を多型安定といいます。ちなみに
(10) のときは戦略 A, B はともに ESS
ではないので、多型安定点がこの系の唯一の安定点になります。
このように、内点定常点には安定の場合と、不安定の場合があります。安定の場合が、多型安定です。不安定の場合も、ダイナミクスの特異点には違いなく、この場合はどちらの ESS に向かうかの分かれ道となる、分水嶺となっています。
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以上、2 x 2 ゲームの ESS および、多型安定について考察してきました。状態空間の端点（一般には頂点）が漸近安定となる場合が ESS、内点（一般には頂点以外）が漸近安定となる場合が多型安定でした。いずれも、レプリケーターダイナミクスの局所安定点として統一的に理解できます。
以下では、代表的な 2 x 2 ゲームについて、その ESS（または多型安定点）についてみてみましょう。
A B A 2 0 B 0 2
調整ゲームとは、このように両者の戦略が一致すれば利得が高く、食い違っていれば利得が低くなるゲームです。右側通行・左側通行ゲームなどがこのゲームにあたります。
a = 2, b = 0, c = 0, d = 2 なので、a > c かつ d > b、すなわち (10) の条件が成立しています。このとき、戦略 A、戦略 B はともに ESS となり、どちらかの戦略が集団全体を占めている時には他の戦略は侵入できません（ex. 右側通行の国に左側通行は侵入できない）。
一方、λ = (d - b) / (a - b - c + d) = 1/2 なので (1/2, 1/2) は定常点ですが、(10) が成立してるので不安定です。つまり、(1/2, 1/2) は、このダイナミクスの分水嶺で、x > 1/2 なら戦略 A が集団全体を占める方向に向かうし、x < 1/2 なら戦略 B が集団全体を占める方向に向かうことになります。右側通行と左側通行のいずれになるかは、初期状態の右側戦略の頻度次第となります。
同時に、分水嶺を越えて強引に戦略の頻度を変化させれば、別の漸近安定点に遷移しうることも示唆されます。ヨーロッパの大陸諸国で右側通行が見られるのは、もともと左側通行であったものを、ナポレオンが強引に右側通行に変えたからだと言われています。
H D H - 1 4 D 0 2
タカ・ハトゲームは、メイナード・スミスとプライスが最初に ESS を定義したときに定式化された、進化ゲームにとってはゆかりの深いゲームです。
2 頭の動物が資源を巡って争っている時、相手に攻撃を仕掛ける戦略をタカ戦略（Hawk； H）、相手を威嚇しつつ待機し、相手が攻撃してくると逃げ出す戦略をハト戦略（Dove； D）とします。タカ−ハトのときはタカが資源を獲得し、ハト−ハトのときは確率 1/2 で資源を獲得できると仮定します。タカ−タカのときはけんかになりますが、確率 1/2 でどちらかが怪我をして逃走し、残った方が資源を獲得するとします。資源の価値を 4、闘争のコスト（怪我をすることによる進化ゲーム利得の減少）を 6 として計算すると、上のような利得行列が得られます。
このとき、a = -1, b = 4, c = 0, d = 2 なので、a < c かつ d < b、すなわち (11) の条件が成立しています。したがって、タカ戦略、ハト戦略はいずれも ESS ではなく、内点定常点が多型安定となります。
λ = (d - b) / (a - b - c + d) = 2/3 なので、多型安定点は (2/3, 1/3)。つまり、タカ戦略 2 ： ハト戦略 1 の割り合いで共存する状態が、安定になることがわかります。
タカ・ハトゲームでも、闘争のコストが小さい場合はタカ戦略が唯一の ESS となり、多型安定とはなりません。闘争のコストが高い場合には、タカ・ハトが多型安定となり、喧嘩をしないプレーヤーも存在するようになります。メイナード・スミスはさらに、ブルジョア戦略（所有者ならタカ、非所有者ならハトを取る戦略）や見定め戦略（相手より強ければタカ、弱ければハトを取る戦略）を考え、これらの戦略が実行可能な場合には、闘争が回避されることを示しました(Maynard Smith 1982)。
C D C 3 0 D 5 1
囚人のジレンマ（Prisoner's Dilemma； PD）ゲームは、このように、相手の戦略が何であっても C 戦略より D 戦略の方が利得が高いにもかかわらず（D が強優越）、CC の場合より DD の場合の方が利得が低くなる（DD がパレート劣位）ゲームです。2 人が協力すれば、利益を得られるけれども、相手の努力にただ乗りすれば、さらに大きな利益が得られるような場合が、このゲームにあたります。
このとき、a = 3, b = 0, c = 5, d = 1 なので、a < c かつ d > b、すなわち (10) の条件も、(11) の条件も成立していません。したがって、このゲームには内点定常点はありません。d > b なので、D 戦略が ESS となりますが、a < c なので C 戦略は ESS とはなりません。内点定常点がなく、D 戦略が唯一の ESS なので、(1, 0) 以外の任意の初期値から出発したダイナミクスはすべて (0, 1)、すなわち D 戦略ばかりの状態に収束することになります。実際、ゼミ等で学生に実習させるとすぐに D 戦略ばかりとなって安定します。
この結果は、相手と協力する戦略は（協力にコストがかかる場合には）進化しないことを示しています。しかし、実際には協力にコストがかかる場合でも、他人と協力する現象は特に人間においては広く観察されます。この現象を説明することがゲーム理論の重要なテーマの一つとなっています。
一つの方法は、PD ゲームを同じ相手と複数回相互作用する＜繰り返し PD ゲーム＞に拡張して考察するアプローチで、しっぺ返し戦略やパブロフ戦略の採用によって、協力が進化しうることが知られています。
もう一つは、ランダムマッチングゲームの仮定をはずして、非ランダムマッチングゲームの場合を考察するアプローチで、この場合は、1 回きりの PD ゲームにおいても協力が進化できる場合があることが明らかとなっています（たとえば金井 2000）。
非ランダムマッチング型の進化ゲームは重要ですので、また稿を改めて説明することにしましょう。
以上、2 x 2 ゲームの ESS の一般論、および、いくつかの具体的なゲームについて見てきました。次回は、3 x 3 ゲームの ESS について考察していきます。