みなさん、こんにちは。
９月２８日の研究会は
・非対称RDの頂点の安定性 （大浦会員）
・進化ゲームのメリットについて （大浦会員）
という内容でした。
【非対称RDの頂点の安定性】 大浦会員
非対称ゲームのＲＤは状態空間の内部では体積一定のダイナミクス
に変換できるので内点に漸近安定点を持たない。したがって、漸近安
定点があるとすれば、それは状態空間の辺か頂点にあるということに
なる。辺についても辺の内部では体積一定のダイナミクスに変換でき
て、頂点以外には安定点は存在しない。漸近安定点があるとすればそ
れは頂点に限られることになる。したがって、頂点の安定性を吟味す
れば非対称レプリケーターダイナミクスの漸近安定点をすべて知るこ
とができる。ここでは、２戦略非対称ゲームについて頂点の安定性を
吟味してみよう。
２戦略非対称ゲーム
立場１＼立場２ ｜ Ａ Ｂ
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Ａ ｜ ａ，ｅ ｂ，ｇ
Ｂ ｜ ｃ，ｆ ｄ，ｈ
のレプリケーターダイナミクスは
dx/dt＝ｒ1((ａ−ｂ−ｃ＋ｄ)ｙ＋ｂ−ｄ)(１−ｘ)ｘ
dy/dt＝ｒ2((ｅ−ｆ−ｇ＋ｈ)ｘ＋ｆ−ｈ)(１−ｙ)ｙ
である。状態空間の頂点は（ｘ，ｙ）＝（０、０）、（１、０）、
（０、１）、（１、１）の４つであるが、ここでは（ｘ，ｙ）＝
（１、１）の安定性を吟味する。
ｆ(x,y)＝dx/dt、ｇ(x,y)＝dy/dt
としてヤコビ行列を求めてみよう。
まず、ｆ、ｇをｘ、ｙでそれぞれ偏微分すると
∂f/∂x＝ｒ1((ａ−ｂ−ｃ＋ｄ)ｙ＋ｂ−ｄ)(１−２ｘ)
∂f/∂y＝ｒ1(ａ−ｂ−ｃ＋ｄ)(１−ｘ)ｘ
∂g/∂x＝ｒ2(ｅ−ｆ−ｇ＋ｈ)(１−ｙ)ｙ
∂g/∂y＝ｒ2((ｅ−ｆ−ｇ＋ｈ)ｘ＋ｆ−ｈ)(１−２ｙ)
これにそれぞれ、（ｘ，ｙ）＝（１、１）を代入すると
∂f/∂x＝ｒ1(ｃ−ａ)
∂f/∂y＝０
∂g/∂x＝０
∂g/∂y＝ｒ2(ｇ−ｅ)
となる。したがって、ヤコビ行列は
ｒ1(ｃ−ａ) ０
０ ｒ2(ｇ−ｅ)
となり、対角行列（非対角成分がすべて０の行列）となることがわか
る。対角行列は対角成分がそのまま固有値となるので、ヤコビ行列の
固有値λは
λ＝ｒ1(ｃ−ａ)、ｒ2(ｇ−ｅ)
これらがいずれも負のときに定常点は漸近安定となるので、頂点
（１、１）が漸近安定となる十分条件は
ａ＞ｃ 、 ｅ＞ｇ
である。
ところでａ＞ｃは、戦略プロファイル（Ａ、Ａ）から立場１のプレ
ーヤーが戦略をＢに変えた時に損をしてしまうことを意味している。
同様にｅ＞ｇは、戦略プロファイル（Ａ、Ａ）から立場２のプレーヤ
ーが戦略をＢに変えた時に損をしてしまうことを意味している。この
ように、ある戦略プロファイルからあるプレーヤーが一方的に戦略を
変えた時に、その手を変えたプレーヤーが厳密に損をするような戦略
プロファイルを「強いNash均衡」（strict Nash equilibrium）という。
ちなみにNash均衡は「手を変えても得をしない」戦略プロファイルで、
たとえば
ａ≧ｃ 、 ｅ≧ｇ
ならば、戦略プロファイル（Ａ、Ａ）がNash均衡となる。
上の結果は、戦略プロファイル（Ａ、Ａ）が強いNash均衡ならば頂
点（１、１）が漸近安定であることを示している。上と同様の分析を
行うと、
戦略プロファイル（Ａ、Ｂ）が強いNash均衡ならば
頂点（１、０）が漸近安定
戦略プロファイル（Ｂ、Ａ）が強いNash均衡ならば
頂点（０、１）が漸近安定
戦略プロファイル（Ｂ、Ｂ）が強いNash均衡ならば
頂点（０、０）が漸近安定
となることが分る。
［３×３ゲームの場合］
強いNash均衡は静学上の概念であるが、２戦略非対称ゲームの場合、
強いNash均衡に対応する戦略分布が漸近安定になることが示された。
静学解は一般に動学解より容易に求めることができるので、静学解が
動学解に一致するケースは実用上便利である（逆は特にメリットはな
いが）。次に３戦略非対称ゲームの場合について同様な結果が得られ
るかみてみよう。
３戦略非対称ゲームの利得表は一般に
立場１＼立場２ ｜ S1 S2 S3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
S1 ｜ a11、b11 a12、b12 a13、b13
S2 ｜ a21、b21 a22、b22 a23、b23
S3 ｜ a31、b31 a32、b32 a33、b33
となる。
立場１のプレーヤーの集団を集団１、立場２のプレーヤーの集団を
集団２とし、集団１における戦略Ｓiのシェアをｘi、集団２における
戦略Ｓiのシェアをｙiとすると（ｉは１〜３の整数）、レプリケータ
ーダイナミクス方程式は
dxi/dt＝ｒ1(ｕ1i−ｕ1)ｘi
dyi/dt＝ｒ2(ｕ2i−ｕ2)ｙi
となる。ここで、ｒjは集団ｊでの出生死滅過程の発生率、ｕjiは集
団ｊでの戦略ｉの平均利得、ｕjは集団ｊ全体の平均利得である（ｊ
は１〜２の整数）。
以下、局所安定性解析を用いて状態空間の頂点の安定性を吟味する
わけだが、その準備として利得を行列を用いてあらわすことを考える。
たとえば、ｕ11は
ｕ11＝a11y1＋a12y2＋a13y3
であるが、ここで行列Ａとベクトルｙを
a11 a12 a13
Ａ＝ a21 a22 a23
a31 a32 a33
ｙ＝（y1、y2、y3）
とすると
ｕ11＝ｅ1Ａｙ'
と簡潔に表現することができる（ｅiは第ｉ成分が１で後が０の単位
ベクトル、’は転置行列を示す記号）。
一方、ｕ21は
ｕ21＝b11x1＋b12x2＋b13x3
であるが、行列Ｂとベクトルｘを
b11 b12 b13
Ｂ＝ b21 b22 b23
b31 b32 b33
ｘ＝（x1、x2、x3）
とすると
ｕ21＝ｘＢｅ1'
と表現することができる。
また、集団１の平均利得ｕ1は
ｕ1＝x1u11＋x2u12＋x3u13
＝ｘＡｙ'
集団２の平均利得ｕ2は
ｕ2＝y1u21＋y2u22＋y3u23
＝ｘＢｙ'
と表現できる。
したがって、利得の行列表記を用いるとレプリケーターダイナミク
ス方程式は
dxi/dt＝ｒ1(ｅiＡｙ'−ｘＡｙ')ｘi
dyi/dt＝ｒ2(ｘＢｅi'−ｘＢｙ')ｙi
と書き直すことができる。
この表記を用いて、以下では頂点（ｘ、ｙ）＝（ｅ1、ｅ1）、つま
り戦略分布ｘ＝（１、０、０）、ｙ＝（１、０、０）の安定性を検討
してみよう。
３×３ゲームのダイナミクスでは変数は６個あるように見えるが、
ｘ1＝１−ｘ2−ｘ3、ｙ1＝１−ｙ2−ｙ3に注意すれば、
dx2/dt＝ｒ1(ｅ2Ａｙ'−ｘＡｙ')ｘ2
dx3/dt＝ｒ1(ｅ3Ａｙ'−ｘＡｙ')ｘ3
dy2/dt＝ｒ2(ｘＢｅ2'−ｘＢｙ')ｙ2
dy3/dt＝ｒ2(ｘＢｅ3'−ｘＢｙ')ｙ3
の４変数ダイナミクスの安定性を吟味すれば良いことが分る。以下
ｆ2＝dx2/dt ｇ2＝dy2/dt
ｆ3＝dx3/dt ｇ3＝dy3/dt
としてヤコビ行列を求めていく。
まず、ｆ2＝dx2/dtをｘ2で偏微分すれば
∂f2/∂x2＝ｒ1(ｅ2Ａｙ'−ｘＡｙ')−ｒ1(∂x/∂x2Ａｙ')ｘ2
となる。これに（ｘ、ｙ）＝（ｅ1、ｅ1）を代入すると
∂f2/∂x2(e1,e1)＝ｒ1(ｅ2Ａｅ1'−ｅ1Ａｅ1')
＝ｒ1(ａ21−ａ11)
となる。
次にｆ2をｘ3で偏微分すれば
∂f2/∂x3＝−ｒ1(∂x/∂x3Ａｙ')ｘ2
となる。これに（ｘ、ｙ）＝（ｅ1、ｅ1）を代入するとｘ2＝０なので
∂f2/∂x3(e1,e1)＝０
である。
ｙ2、ｙ3についても同様に偏微分して（ｅ1、ｅ1）を代入すると
∂f2/∂y2＝ｒ1(ｅ2Ａ(∂y/∂y2)'−ｘＡ(∂y/∂y2)')ｘ2
∂f2/∂y2(e1,e1)＝０
∂f2/∂y3＝ｒ1(ｅ2Ａ(∂y/∂y3)'−ｘＡ(∂y/∂y3)')ｘ2
∂f2/∂y3(e1,e1)＝０
となる。
このように、ヤコビ行列の対角成分以外はすべて０となることがわ
かるので、以下対角成分のみを求めると
∂f3/∂x3＝ｒ1(ｅ3Ａｙ'−ｘＡｙ')−ｒ1(∂x/∂x3Ａｙ')ｘ
∂f3/∂x3(e1,e1)＝ｒ1(ｅ3Ａｅ1'−ｅ1Ａｅ1')
＝ｒ1(ａ31−ａ11)
∂g2/∂y2＝ｒ2(ｘＢｅ2'−ｘＢｙ')−ｒ2(ｘＢ(∂y/∂y2)')ｙ2
∂g2/∂y2(e1,e1)＝ｒ2(ｅ1Ｂｅ2'−ｅ1Ｂｅ1')
＝ｒ2(ｂ12−ｂ11)
∂g3/∂y3＝ｒ2(ｘＢｅ3'−ｘＢｙ')−ｒ2(ｘＢ(∂y/∂y3)')ｙ3
∂g3/∂y3(e1,e1)＝ｒ2(ｅ1Ｂｅ3'−ｅ1Ｂｅ1')
＝ｒ2(ｂ13−ｂ11)
以上より、ヤコビ行列は
ｒ1(ａ21−ａ11) ０ ０ ０
０ ｒ1(ａ31−ａ11) ０ ０
０ ０ ｒ2(ｂ12−ｂ11) ０
０ ０ ０ ｒ2(ｂ13−ｂ11)
という対角行列となる。対角行列の固有値は対角成分と一致するので、
これらの対角成分がすべて負のときに戦略分布（ｅ1、ｅ1）は漸近安
定となる。したがって
ａ21＜ａ11 ｂ12＜ｂ11
ａ31＜ａ11 ｂ13＜ｂ11
のときに、（ｅ1、ｅ1）は漸近安定となることがわかる。
この条件は戦略プロファイル（Ｓ1、Ｓ1）が強いNash均衡である条
件と同じである。したがって戦略プロファイル（Ｓ1、Ｓ1）が強いNash
均衡であるとき、戦略分布（ｅ1、ｅ1）は漸近安定となる。
以上の結果は他の頂点（ｅi、ｅj）の場合についても同様に成り立
つ。また、一般のｎ×ｍ非対称ゲーム（立場１の戦略がｎ個、立場２
がｍ個の戦略を持つゲーム）の場合についても同様の枠組みで証明す
ることができる。したがって、頂点の安定性について一般に次の命題
が成立する。
［命題５.１ ］
一般のｎ×ｍ非対称ゲームについて、戦略プロファイル（Ｓi、Ｓj）
が強いNash均衡であるとき、戦略分布（ｅi、ｅj）は漸近安定である。
ＲＤの場合、このような明快な命題が成立する。これは遺伝ダイナ
ミクスにおいては、利得は子供の数の期待値であり、戦略のシェア変
化と利得が直結しているからである。学習ダイナミクスでは、効用と
シェア変化は学習アルゴリズムを介して結びつくので、一般にこれほ
ど明確な結果は得られない。
【進化ゲームのメリットについて】 大浦会員
社会科学において進化ゲーム理論を用いるメリットとしては、ゲー
ム理論を用いるメリット、動学理論であることのメリット、多様な行
為者像を想定できるメリット、をあげることができる。
１ ゲーム理論を用いるメリット
ゲーム理論は、社会的相互依存状況における人々の行動を
（プレーヤー、戦略、利得）
というゲームの３要素を用いて数学的に定式化して考察する理論体系
である。数理モデルの持つ優れた演繹能力を生かして、どのような利
得構造のときにどのような行動が見られるか、明確に推論することが
できる。一般に数理モデルを用いることにより自然言語による推論よ
りも、はるかに効率よく原因と結果の関係を考察することができるが、
これを社会的相互作用の場面で利用できるようになることが、ゲーム
理論を用いることによるメリットである。
２ 動学理論であることのメリット
次にゲーム理論一般ではなく、進化ゲーム理論を用いることのメリ
ットであるが、これは大きく２つをあげることができる。従来のゲー
ム理論と進化ゲーム理論を比較してみると、従来の先読み型ゲーム理
論が「合理的なプレーヤーを想定した静学理論」であるのに対し、進
化ゲーム理論は「多様な行為者像を想定する動学理論」であるという
ことができる。したがって、進化ゲームを用いるメリットには、動学
であることのメリットと、多様な行為者像を想定できることのメリッ
トをあげることができる。
動学であることのメリットは一般に
・任意の初期状態から出発して何が起るかが分かる
・定常状態からずれたときに何が起るかが分かる
・環境が変わったときに何が起るか分かる
という点にある。
静学はつりあいの状態（定常状態）について効率良く考察すること
は得意であるが、つりあいの状態にないときには何が起こるかを知る
ことはできない。したがって、たとえばつりあいの状態から何らかの
原因でずれてしまったときに、もとの状態に戻ることができるのか、
そのままどんどんずれていってしまうのかを知ることはできない。ま
た、ある定常状態から別の定常状態に状態を変化させるにはどうすれ
ばよいかといった問題や、ある状態を「つりあいの状態」にならしめ
ている環境が変化してしまって、新しい環境となったときに状態がど
う変化していくのか、といったことを考察することも苦手である。今
日のように環境の変化が激しく、新しい環境に適した新しい定常状態
が求められている時期には動学のメリットは大きいといえる。
もう一つゲーム理論固有の事情として、静学的なつりあいの状態
（Nash均衡）を求める上で、プレーヤーが合理的であることが仮定さ
れなければならなかったことがあげられる。進化ゲーム理論では動学
的なプロセスをゲームの解（行動の予測）として再定式化することに
より、合理的なプレーヤーを仮定しなくても数学的な演繹を行うこと
が可能となった。これが、ゲーム論の文脈での動学化のもう一つのメ
リットである。
３ 多様な行為者像を想定できるメリット
進化ゲーム理論では動学の考え方を取り入れることで、多様な行為
者像を想定した理論の構築が可能になった。
先読み型のゲーム理論では、事前の先読みによって自らの効用を最
大化することを目指す行為者像が想定される。これは一次近似として
機能する場合もあるが、現実にはそうではない場合もある。行為の結
果の比較検討をあまり行わず、「とりあえず」何かをしてみたり、
「いつもの」行動をとってみたり、「まわりの行動」を真似てみたり、
あるいは「言われた行動」をそのままとってみたり、様々の非先読み
型の行動選択が実際には行われている。これらの多様な行動選択を行
う行為者像を想定した理論構築を進化ゲーム理論は行うことができる。
一般に、経験的に妥当性の高い行為者像を想定することにより、モ
デルの妥当性は高くなると考えられる。モデルの仮定の経験的妥当性
が低い場合、たとえモデルの予測が現実と一致していたとしても、そ
れがまぐれあたりである可能性を否定できない。予測が外れた場合に、
それがなぜかを追求することも困難である。経験的に妥当性の高い行
為者像を想定できるメリットは、その裏返しであり予測の精度は一般
にあがることが期待されるし、予測がはずれた場合でも、それをモデ
ルの改善に結びつけることができる。
より社会学の文脈に即していえば、従来多様な行為者像を想定した
社会理論が提案されて来ている。それらの多くは自然言語による推論
で、マイクロな行為理論とマクロな社会理論を結び付けようとしてい
る。進化ゲーム理論は、これらの行為者像を想定した数理モデルを構
築することによって、より精密にマイクロな行為理論とマクロな社会
理論の関係を検討できる性能をもっている。その意味で進化ゲーム理
論は、社会学の本格的な数理化に貢献できる可能性を持っているとい
えよう。
次の研究会は
１０月５日（土） １時半〜５時
慶応大三田キャンパス大学院棟５階３５６室
で行います。
内容は
・輪読続き ５章 信頼後半 （石原会員）
・市民的自己の数理モデル （籠谷会員）
・希望者の発表
の予定です。
そのあとの予定
１０月１９日（土） 東工大大岡山キャンパス
１０月２６日（土） 慶応大三田キャンパス
１１月 ９日（土） 東工大大岡山キャンパス
庶務担当 大浦
メーリングリストの申し込み先
YQN02163@nifty.ne.jp（大浦）