みなさん、こんにちは。

　　11月11日の研究会は
　　　・入門編　ミニマックス解とNash均衡
　　　・香村会員の発表
　　という内容でした。

　　後ろ向き推論法について解説する予定でしたが、リクエストによりミ
　ニマックス解について説明することにしました。
　　それぞれの内容は次の通り。

　　　【入門編　ミニマックス解】

　　ミニマックス均衡は、フォンノイマンが最初に２人ゼロサムゲームに
　ついて考察した時に考えられた均衡概念である。これをｎ人の非ゼロサ
　ムゲームに拡張したものがNash均衡である。
　　ミニマックス解の舞台となる２人ゼロサムゲームは、自らの損失が相
　手の利益となり、自らが利益をあげるためには相手を打ち負かさなけれ
　ばならないゲームで、戦争やスポーツなどの場面でよくあらわれるもの
　である。このような場面で、相手のミスに付け込んで利益をあげようと
　するのではなく、相手が最善最強の手段で来る時に、なおかつ自らも最
　善の手段で対処しようとすればどうなるかを考えよう、というのがミニ
　マックス解の基本的な考え方である。

　　例として、サッカーのペナルティキック（ＰＫ）を考えよう。ＰＫで
　は、キッカーの戦略としては、右に蹴るか左に蹴るか、２つの戦略が考
　えられる。一方、キーパーの戦略としても同じく右に飛ぶか左に飛ぶか
　２つの戦略がありうる（簡単のために、まん中の場合は考えない）。
　　ある調査によると、キーパーがシュートと同じ方向に飛んだ時のＰＫ
　の成功率は７割で、逆にとんだ場合の成功率は９割であるという（１割
　が失敗するのは記憶に新しい）。このとき、利得行列は

　　　　キッカー＼キーパー　｜　　右　　　　　左
　　　−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　　　　　　　　右　　　　　｜ 0.7,-0.7　 0.9,-0.9
　　　　　　　　左　　　　　｜ 0.9,-0.9　 0.7,-0.7

　となる（方向はキッカーから見た方向）。かなりキーパーに分が悪いが
　（ＰＫなのでやむを得ない）、ゼロサムゲームである。このゲームにお
　ける、キッカー側のミニマックス戦略を求めてみよう。

　　ゼロサムゲームでは相手が最善の手段を取るということは、こちらに
　とっては最悪の状況（利得が最小になる状況）を意味する。ここで、最
　悪の中でもさらにもっとも悪い状況は、こちらの手の内を読まれて、そ
　の上でこちらの利得が最小になるように対応されることである。このよ
　うな過酷な状況で、なおかつ自らの利得を最も大きくできる戦略がミニ
　マックス戦略である。
　　もうすこしきちんというと、プレーヤーＡとプレーヤーＢがゼロサム
　ゲームをするとき、Ａの戦略ａiに対して、Ａの利得を最小にするＢの戦
　略 f(ai) を考える。このときｕa(ai, f(ai))を最大にするような戦略
　 ai* がプレーヤーＡのミニマックス戦略である。

　　上のゲームでは、キッカーの戦略Ｒ(＝右)に対するキーパーの最善手
　 f(R) はＲである。このとき
　　　　　ｕa(R, f(R))＝ｕa(R, R)＝0.7
　で、同様に
　　　　　ｕa(L, f(L))＝ｕa(L, L)＝0.7
　である。純粋戦略の範囲では、いずれの戦略も最善でミニマックス戦略
　である。
　　キッカーの利得を増やす可能性を探るために、混合戦略についても考
　えてみよう。すなわち、混合戦略ｘを確率ｘで右に、確率(１−ｘ)で左
　にシュートする戦略とし、これがミニマックス戦略となるときの確率x*
　を求めることを試みよう。

　　キッカーが混合戦略ｘをとるときのキーパーの利得は
　　　　ｕb(R,x)＝−0.7x−0.9(１−x）＝−0.9＋0.2x
　　　　ｕb(L,x)＝−0.9x−0.7(１−x）＝−0.7−0.2x
　なので、キーパー側の最善の戦略 f(x) は
　　　　ｘ＞1/2　のとき　f(x)＝R
　　　　ｘ＜1/2　のとき　f(x)＝L
　となる（ｘ＝1/2のときは無差別）。
　　これより、キッカーの利得ｕa(x,f(x))は
　　　　ｘ＞1/2　のとき　ｕa(x,f(x))＝ｕa(x,R)＝0.9−0.2x
　　　　ｘ＜1/2　のとき　ｕa(x,f(x))＝ｕa(x,L)＝0.7＋0.2x
　　　　ｘ＝1/2　のとき　ｕa(x,f(x))＝0.8 （一定）
　となる。グラフを書くと、ｘ＝1/2で山形に折り曲がるグラフとなり、
　x*＝1/2がキッカー側のミニマックス戦略であることがわかる。純粋戦略
　はｘが０か１の場合に相当するが、これらは混合戦略の中では利得が最
　小になる戦略である。

　　ここではキッカー側のミニマックス戦略を求めたが、同様にキーパー
　側のミニマックス戦略を求めると、これも右に確率1/2、左にも確率1/2
　で飛ぶ戦略となる。この場合はたまたま同じ戦略となるが、いつも同じ
　戦略になるとはかぎらない。こうしてお互いがミニマックス戦略を取り
　合っている状況をミニマックス均衡という。
　　２人ゼロサムゲームの場合、自分の利得を最小とする相手の戦略は、
　相手の利得を最大とする戦略（最適応手）なので、ミニマックス均衡は
　Nash均衡でもある。しかし、非ゼロサムゲームでは、自分の利得を最小
　とする相手の戦略は、相手の利得を最大とする戦略とはかぎらないため
　（例えば調整ゲーム）、一般にミニマックス均衡はNash均衡とは一致し
　ない。
　　非ゼロサムゲームにおいても、相手の利得の最小化を目指す＜嫌がら
　せの動機＞を持ったプレーヤーと対戦する場合には、ミニマックス戦略
　を取ることが望ましいが、自己利得の最大化を目指す＜個人的動機＞を
　持ったプレーヤーと対戦する時に、ミニマックス戦略を取ると、利得を
　増やす機会を逃すことになる。この＜個人的動機＞を持ったプレーヤー
　同士が対戦する場合を念頭において、最適応手対応の不動点として導入
　された均衡概念がNash均衡である。

　　　【香村会員の発表】
　
　　本研究は統計力学の考え方を、社会的な現象の記述・説明に適用する
　ことを目的としている。ここではまず、統計力学について紹介すること
　にしよう。

　　統計力学とは、温度・圧力・体積といったマクロ変数相互の関係を経
　験的に記述する熱力学を、原子や分子のミクロな振る舞いから説明する
　ことを目指して考え出された学問である。
　　巨視的な物体は莫大(ばくだい)な数の原子（などの微視的粒子）から
　できており、それが示す諸性質（物性）はこれら粒子の運動によって説
　明できるはずである。力学的にはそのように複雑であるにもかかわらず、
　たとえば気体の状態がボイル‐シャルルの法則で表されるという例が示
　すように、比較的少数の状態量（圧力、温度、密度など）とそれらの間
　の関係によって物質の性質は記述される。このことは、粗い巨視的な観
　測によって細かい変化を平均したものを測ると、かえって規則性がみら
　れることを示している。つまり、巨視的な物性というのは、景気の動向
　とか平均寿命の変化などと同様に、統計的な性質であると考えられる。
　そこで、微視的粒子の運動を支配する力学を基礎とし、それに統計的な
　処理を加えることによって、巨視的な物性を説明する際の一般的な理論
　の骨組を与えるのが統計力学である。

　　統計力学の始まりは気体分子運動論であった。気体内の分子の速度分
　布を初めて求めたのはマクスウェルであるが、ボルツマンはそれをもっ
　と一般的に導出した。これは、気体のように互いにほとんど独立な多数
　の微視的な系からできている巨視的な系に対して有効な方法であった。　
　　一方、固体原子の運動は独立ではなく、原子間には強い力が働いてお
　り、固体のエネルギーを各原子がもつエネルギーの和として表すことは
　できない。このような巨視系の熱平衡状態を扱う一般論を示したのはギ
　ブスであった。狭義の統計力学、あるいは統計熱力学とよばれるものは、
　ギブスの方法をさす。

　　ギブス流の扱いでは、一つの巨視系を扱うのに、それと同じ系を非常
　に多数用意して並べた統計集団（アンサンブル）を想定する。たとえば1
　キログラムの水を扱うときに、海のように多量の水を考える。温度Ｔの
　器内でこれと熱平衡状態にある1キログラムの水の巨視的性質は、温度Ｔ
　の多量の水の中に想定した1キログラムの水と同じであり、粗い観測で1
　キログラムの水を測定して得られる諸量の値は、多量の水を1キログラム
　ずつに分けて考えた統計集団についてとった同じ量の平均値（集団平均
　という）に等しいと考えられる。この例のように、互いにエネルギーの
　やりとりをしている集団をカノニカル集合という。
　　集団のメンバーがもつエネルギー値は、平均値の周りに分布するさま
　ざまな値をとるが、これが器内の水1キログラムのもつエネルギーの（器
　とのやりとりによる）「ゆらぎ」に対応すると考える。また、孤立して
　周囲とエネルギーも粒子もやりとりしていない巨視系を扱うときには、
　エネルギー保有量と粒子数が同じで、内部の微視的状態が異なる多数の
　系をまんべんなく集めた集団（ミクロカノニカル集合という）を考える
　ことにする。

　　ギブスがこの方法を考えたのは古典力学の時代（1902）であったが、
　それは量子力学にも容易に拡張適用される。その場合、有限な巨視系
　（孤立して定常状態にあるものを考える）がとる運動状態（量子状態）
　はとびとびの番号づけできるものになるから、それぞれの状態のもつエ
　ネルギー値をE1、E2、……とすると、カノニカル集合に含まれるｎ番目
　の状態（エネルギーＥnの状態）の割合はexp(-En/kT)に比例することが
　示される。ｎ番目の状態である量ｆのとる値をfnとすると、カノニカル
　集合でとった平均値<f>は

　　　<f>＝Σfn・exp(−En/kT)/Σexp(−En/kT)

　で計算される。このような計算のときに、E1、E2、E3、……の分布はき
　わめて密なので、エネルギーがＥとE+dEの間にある定常状態の数を
　Ω(E)dEとして、ｎについての和を

　　　Σfn・exp(−En/kT)
　　　　≒∫f(E)exp(−E/kT)Ω(E)dE

　のように積分で表してよいことが多い。このときのΩ(E)を状態密度とい
　う。通常これはＥとともに急増する関数なので、これとexp(-E/kT)との
　積はＥの特定の値（Ｕとする）に鋭い極大をもつＥの関数になる。この
　Ｕが熱力学でいう内部エネルギー、極大を示すピークの幅がゆらぎの幅
　であると考えられる。
　　ギブスの方法を一般の具体的な系で遂行することは至難なので、いろ
　いろなモデルで系を理想化したり簡単化し、コンピュータで処理するこ
　とが多い。

　　以上が統計力学の概要である。社会における個人間の相互作用は気体
　のように希薄なものではなく、固体における相互作用のように密なもの
　として考えることが適切であろう。したがって、以下ではボルツマン流
　の統計力学ではなく、ギブス流の統計力学の考え方を応用して社会現象
　を記述することを試みたい。この場合は特に、＜相互作用のエネルギー
　＞という概念を社会学的に意味のある概念として再定義することが課題
　となるであろう。

　
　　次回の研究会は、
　　　11月17日（金）　２時から５時半
　　　一橋大国立東キャンパス
　　　（国立駅から南へ徒歩約５分）
　　で行います。

　　２時に、東キャンパス言語社会研究科
　　　　　　留学生センター合同棟１階
　　に集合して移動する予定です。

　　内容は
　　　・入門編　後ろ向き推論法とシュタッケルベルクモデル
　　　・輪読　２章残り（適応的プレイ）
　　　・論文紹介（鈴木会員）
　　の予定です。

　　そのあとの予定。
　　　　１１月２５日（土）　東工大大岡山キャンパス
　　　　１２月　２日（土）　慶応大三田キャンパス
　　　　１２月　９日（土）　東工大大岡山キャンパス

　　では、みなさんまた来週。

　　　　庶務担当　大浦

　 ＨＰ　http://qmss.t.u-tokyo.ac.jp/evogame/
　　メーリングリストの申し込み先
　　　　　YQN02163@nifty.ne.jp（大浦）