みなさん、こんにちは。

　６月３日の研究会は
　　・入門編　変数分離形の微分方程式
　　・論文紹介「確率進化による均衡選択」（籠谷会員）
　でした。
　
　内容は次の通り。

　【変数分離形の利用】

　　dy/dx＝f(x)g(y) の形の微分方程式を変数分離形の微分方程式とい
　う。この形の方程式は
　　　　dy/g(y)＝f(x)dx
　の形（いわゆる変数分離形）に変形して、両辺を積分すれば、一般解
　を求めることができる。

　　この形を用いるモデルの例として、刺激ー反応モデルと、普及モデ
　ルを取り上げた。
　　刺激Ｓに対する生体の反応Ｒとの間には
　　　　dR/dS＝k/Ｓ　　　（フェヒナーモデル）
　または
　　　　dR/dS＝ｎＲ/Ｓ 　（スティーブンスモデル）
　という関係があると考えられている。前者は刺激に対する反応の逓減
　を、後者はフィードバックシステムによる反応の自己増進を想定した
　モデルである。
　　いずれも変数分離形で、容易に解くことができる。前者は
　　　　Ｒ＝klog(S/S0)　（ログリニア）
　後者は
　　　　log(R/R0)＝nlogＳ　（ログログ　あるいはべき乗則）
　となる。前者は常に飽和型の関数となり、ある種の効用関数に類似す
　る。心理的な効用が、生体の刺激反応システムに基盤を置く可能性を
　示唆する。
　　後者はｎ＜１なら飽和型だが、ｎ＞１なら発散型となる。すなわち
　フィードバックの効果が大きいときは刺激に対する反応は発散するこ
　とが予測される。電気ショックに対する反応がこのタイプであること
　が知られている。

　　もう一つの例として普及モデルを取り上げた。新技術が「口コミ」
　普及する場合、
　　　１　成員間の相互作用がランダムに等確率で起る
　　　２　微小時間dtにｋdtペアが相互作用する
　　　３　採用ー未採用の相互作用の際に、ある確率ｑで未採用が
　　　　　採用する
　　　４　採用者は採用を放棄しない。
　という仮定のもとでは、採用者の人数ｘと時間ｔの間に
　　　　　dx/dt＝２kqx(１−x/N)/N
　という関係式が成立する。（Ｎは全体の人数）
　　これは変数分離形なので解析的に解くことができて、ロジスティッ
　ク型の普及曲線を得ることができる。

　　研究会では、ミクロな仮定（マイクロファウンデーション）を明ら
　かにしながら、上記の微分方程式を導く練習をしました。

　　【論文紹介】
　
　「確率過程による均衡選択」
　　　丸田利昌（1999)　『数理科学』437:55-65

　　Nash均衡が複数ある場合、どの均衡がプレイされやすく、どの均衡
　がプレイされにくいのであろうか。たとえば「鹿狩りゲーム」

　　　　　　　Ａ　　　　Ｂ
　　　　Ａ　９，９　　０，８
　　　　Ｂ　８，０　　７，７

　は二つのNash均衡を持つが、（A,A)均衡がパレート最適であるのに対
　し、(B,B)均衡はリスクナントドミナント均衡（より安全な均衡）に
　なっている。このような場合、どちらの均衡がプレイされやすいので
　あろうか。本研究はこの問題を確率進化ゲームの考え方を用いて考察
　することを試みる。

　　まず、２人より多いプレーヤーがランダムにゲームを行う状況を考
　える。プレーヤーはひとしきりゲームをすると、自分の戦略を改定す
　る。多くの場合、そのときの戦略配置に対して最善の戦略を採用する
　（近視眼的最適反応）が、小さい確率εでランダムな戦略変更もする
　と仮定する。
　　このとき、集団の戦略分布は「最適反応」と「確率的摂動」の働き
　で時間的に変化していくが、この過程ではマルコフ連鎖として定式化
　することができる。ε→０として、定常分布を求めると(B,B)均衡に
　確率１でとどまる定常分布を求めることができる。
　
　　以上が確率進化ゲームの一般的な考え方であるが、上記の仮定のも
　とでは、対称２×２ゲームでは一般に
リスクドミナントな均衡がプレ
　イされるという予測を導くことができる。

　　というわけでこの論文は「確率進化ゲーム」の紹介論文です。通常
　の（レプリケーターダイナミクス型の）進化ゲームが微分方程式でダ
　イナミクスを記述するのに対し（ある種の近似ですが）、確率進化ゲ
　ームでは明示的に確率的摂動を取り入れてマルコフ連鎖を用いて分析
　を行う点に特徴があります。
　　均衡選択の問題については、通常の進化ゲームでは、「初期値によ
　る」という結論になるので、どの初期値が生じやすいかという議論に
　帰着します。どの初期値もランダムに起きるならば＜流域面積＞の広
　い均衡（ＥＳＳ）が生じやすいという結論が導けます。これは対称２
　×２ゲームでは一般にリスクドミナントな均衡となります。
　　一方、群淘汰モデル（非ランダム相互作用モデル）の予測は、パレ
　ート最適均衡による、パレート劣位均衡の駆逐です（調整ゲームの場
　合、移住拒否は不要）。鹿狩りゲームでは(A,A)均衡を予測します。
　ランダムマッチングが仮定できるかどうかが、両者の分かれ道になり
　ますが、実証研究も期待されるところです。

　次回の研究会は
　　６月１０日（土）　１時〜５時
　　慶応大三田キャンパス大学院棟
　　３５６号室
　　
　で内容は
　　・入門編　線形１階微分方程式
　　・輪読の続き（一般ダイナミクス）
　　・小林会員の発表
　
　の予定です。
　

　そのあとの予定。
　　６月１７日（土）　東工大大岡山キャンパス
　　６月２４日（土）　慶応大三田キャンパス
　　
　６月２４日の一橋は難しそうなので、
　やはり慶応とします。

　では皆さん、また来週。

　　　　庶務担当　大浦

　 ＨＰ　http://qmss.t.u-tokyo.ac.jp/evogame/
　　メーリングリストの申し込み先
　　　　　YQN02163@nifty.ne.jp（大浦）