第５回では、戦略採用者数の変動のメカニズムについて考えてみま
した。戦略採用者数は大きく分けて二つの過程、出生死滅過程と戦略採
否過程（戦略修正過程）によって変化します。出生死滅過程で採用者数
が変動する場合、遺伝や教育によって親の戦略が子に継承されるならば、
進化ゲーム利得はダーウィン適応度（子供の数の期待値）と等価になる
ことがわかりました。
一方、戦略修正過程は戦略修正アルゴリズムによって生じます。した
がって、この過程によるダイナミクスを知るには戦略修正アルゴリズム
についての知識が必要です。戦略修正アルゴリズムの定性的な性質につ
いては第５回命題17より、進化的に安定な戦略修正アルゴリズム（以下
ＥＳ戦略修正アルゴリズムとします）が存在するならば、それはＥＳＳ
の採用を指示するような戦略修正アルゴリズムであることが明らかとな
りました。では、ＥＳ戦略修正アルゴリズムとは、具体的にどのような
アルゴリズムなのでしょうか。今回はこの問題を考えることを通して、
進化ゲーム利得についての第２の疑問であるフォンノイマン・モルゲン
シュテルン効用（ＮＭ効用）との関連についても考えていきましょう。
さて、第５回では戦略修正アルゴリズムを一般に
＜戦略採用＞ → ＜結果評価＞ → ＜戦略修正（非修正）＞
という構造を持つものと考えました。すなわち、ある戦略を採用してみ
て、その結果が良ければ引き続き採用を続け、悪ければ変更を考慮する
というアルゴリズムを考えたわけです。ここには、＜結果の評価＞とい
うステップが含まれています。ある戦略を採用して相互作用を行うと、
なんらかの結果が生じますが、この結果について「良い」か「悪い」か
を評価するステップが＜結果評価＞のステップです。
相互作用の結果を評価するということは、相互作用の結果を順序付け
することを意味します。一方、ＮＭ効用も物事についての順序付けとい
う性格を持っています。例えばある人にとって、りんごの効用が１、み
かんの効用が４、ぶどうの効用が３であるとき、その人はみかんが最も
好きであり、次がぶどう、最後にりんごであることが分かります（ちな
みに、確率1/3でりんご、2/3でみかんが手に入るくじと、ぶどうの効用
が等しいこともわかります。りんご＜ぶどう＜みかんという選好順序に、
期待値の情報を加味して実数値を割り振ったものがＮＭ効用です）。こ
のときその人は、「みかんが手に入る結果」を最も選好し、次に「ぶど
うが手に入る結果」、「りんごが手に入る結果」の順で選好すると考え
られます。このように考えると、＜ＮＭ効用＞は＜相互作用の結果につ
いての評価＞を示していると考えることができることが分かります。
では、ＮＭ効用を相互作用の結果の評価にもちいる戦略修正アルゴリ
ズムが使用されるときに、進化ゲーム利得はどうなるのでしょうか。ウ
ェイブルの模倣のモデルを手掛かりに考えてみましょう。
ウェイブルのモデルでは、あるプレーヤーは他のプレーヤーをランダ
ムに選びだし、ある確率でそのプレーヤーの戦略を模倣することが仮定
されます。あるプレーヤーが微少時間Δｔの間に他のプレーヤーを参照
する確率をｒΔｔ、戦略ｉのプレーヤーが戦略ｊのプレーヤーを参照し
た時に、その戦略をｊに変える確率をｑijとして、ｉの採用者数ｐiの増
分Δpiを考えましょう。
ｉの採用者数ｐiと集団の人数ｐは十分大きいものとします。このとき、
ｉの採用者のうちで微少時間Δｔの間に他のプレーヤーを参照する人数
はｒｐiΔｔとなります。戦略ｊのシェアをxjとすると参照相手がｊであ
る確率もxjとなるので、ｉの採用者のうち、戦略ｊのプレーヤーを参照
する人数はｒpixjΔｔです。これらのプレーヤーが戦略をｊに変える確
率はｑijなので、微少時間Δｔの間に戦略をｉからｊに変える人数は
ｒpixjｑijΔｔとなります。
ところでｐiの増分Δpiは、（ｉへの流入）−（ｉからの流出）なので
Δpi＝Σ［j≠i］(rpjxiqjiΔt)−Σ［j≠i］(rpixjqijΔt)
＝Σ［j］(rpjxiqjiΔt)−Σ［j］(rpixjqijΔt)
両辺をΔｔで割って、Δｔ→０とすると
dpi/dt＝Σ［j］(rpjxiqji)−Σ［j］(rpixjqij)
ここで pjxi＝pjpi/p＝xjpi に留意すると
dpi/dt＝Σ［j］(rxjpiqji)−Σ［j］(rpixjqij)
＝r(Σ［j］(xjqji)−Σ［j］(xjqij)) pi
＝rΣ［j］xj(qji−qij) pi
これより、この場合の進化ゲーム利得ｕi(x)は
ｕi(x)＝rΣ［j］xj(qji−qij) − (21)
となることが分かります。
これが、ウェイブルの模倣モデルの概要ですが、このモデルにプレー
ヤーは「直近の相互作用の結果が自分より参照相手の方が良かった時に
は、戦略を相手の戦略に変更し、それ以外の場合には戦略を変えない」
というアルゴリズムを採用しているという仮定を付け加えます。このよ
うな仮定をおけば、相互作用の結果の評価（＝ＮＭ効用）を進化ゲーム
利得に結び付けることができるようになります。
プレーヤーはｎ×ｎの２人対称ゲームＧを行っていて、相互作用は随
時、ある確率でランダムに生じているものとします。
戦略ｉのプレーヤーが、戦略ｊのプレーヤーと相互作用するとＲijと
いう結果が生じます。このとき、戦略ｉのプレーヤーのダーウィン適応
度はｗij増加するものとします。また、結果Ｒijについてのプレーヤー
の評価値（ＮＭ効用）はφijであるものとしましょう。
時刻ｔにおける戦略の分布をｘ(t)とすると、戦略ｉのプレーヤーの直
近の相互作用の結果がＲikである確率は、相互作用の相手がｋである確
率と等しくなるので ｘk(t−τ) となります。ここでτ＞０は相互作用
が起きてから、模倣アルゴリズムが作動するまでのタイムラグをあらわ
します。このタイムラグが無視できるくらい小さいものとすると、相互
作用の結果がＲikである確率は xk
となります（のちに分析するように、
定常状態を念頭に置くならばτは常に無視できます）。同様に、戦略ｊ
のプレーヤーの直近の相互作用の結果がＲjlである確率は
xl です。
ここでｉをとるプレーヤーは、Ｒikの評価値φikがＲjlの評価値φjl
より小さい場合に戦略をｊに変えることになります。記号δ(φik＜φjl)
をφik＜φjlが真のときに１、偽のときに０をあらわすものとすると、
ｉをとるプレーヤーが戦略をｊに変える確率ｑijは
ｑij＝ΣΣxkxlδ(φik＜φjl)
となります。またＤijを kl 成分がδ(φik＜φjl)である行列とすると
ｑij＝ｘＤijｘ'
と書くこともできます。
これを(21)式に代入すると、この場合の進化ゲーム利得ｕi(x)は
ｕi(x)＝rΣ［j］xjｘ(Ｄji−Ｄij)ｘ' − (22)
となることがわかります。
この結果は、模倣アルゴリズムを特定すれば、ＮＭ効用を進化ゲーム
利得に結び付けることができることを示しています。(22)式自体は、プ
レーヤーが
「ある確率で他のプレーヤーをランダムに参照し、直近の相互作
用の結果が自分よりも参照相手の方がＮＭ効用について良けれ
ば、参照相手の戦略に変更する」 − (23)
という模倣アルゴリズムに従う場合の結果ですので、他のアルゴリズム
が用いられる場合には、異なる式になると考えられます。従って一般に
は、
進化ゲーム利得＝ｆ(ＮＭ効用)
ただしｆは戦略修正アルゴリズムに依存する関数 − (24)
という関係が成立します。
戦略修正アルゴリズムと進化ゲーム利得の関係が、ある程度分かった
ところで、ＥＳ戦略修正アルゴリズムの問題に立ち返ってみましょう。
上のｎ×ｎゲームにおいて、戦略ｈがダーウィン適応度ではかった利得
行列ＷにおけるＥＳＳであるとします。簡単のためにｈはＥＳＳの１階
十分条件
任意のｉ≠ｈについて ｗih＜ｗhh − (25)
を満たしているものとします。
第５回命題17より、ＥＳ戦略修正アルゴリズムが存在するならば、そ
れはＥＳＳの採用を指示するような戦略修正アルゴリズムであることが
わかります。この場合、戦略ｈがＥＳＳであると仮定してますので、Ｅ
Ｓ戦略修正アルゴリズムが存在するとすれば、それは戦略ｈの採用を指
示するアルゴリズムであるはずです。言い換えれば、戦略ｈの採用を指
示することがＥＳ戦略修正アルゴリズムであるための必要条件であるは
ずです。そこで戦略修正アルゴリズム(23)がこの必要条件をみたすのは
どういう場合であるかを考えてみることにしましょう。
戦略修正過程が戦略修正アルゴリズム(23)によって生じる時、(22)式
より戦略ｉの進化ゲーム利得は
ｕi(x)＝rΣ［j］xjｘ(Ｄji−Ｄij)ｘ'
です。このダイナミクスが戦略ｈばかりの状態ｅhに収束するならば、こ
れは戦略ｈの採用を指示するアルゴリズムであるということができます。
ここで戦略ｈがこの戦略修正ダイナミクスにおけるＥＳＳでなければ、
ダイナミクスは状態ｅhには収束しないので、戦略ｈが戦略修正ダイナミ
クスにおけるＥＳＳであることは、戦略修正アルゴリズム(23)がＥＳ戦
略修正アルゴリズムとなるための必要条件です。
ここで補論(20)より、戦略ｈが戦略修正過程ダイナミクスにおけるＥ
ＳＳであるための１階十分条件は
任意のｉ≠ｈについて ｕi(eh)＜ｕh(eh)
です。ｕi(eh)＜ｕh(eh)に(22)式を代入すれば
reh(Ｄhi−Ｄih)eh'＜reh(Ｄhh−Ｄhh)eh'
eh(Ｄhi−Ｄih)eh'＜０
ehＤhieh'＜ehＤiheh'
δ(φhh＜φih)＜δ(φih＜φhh)
となります。この不等式は
φih＜φhh が真の時に成立
φih＜φhh が偽の時に不成立
なので、戦略ｈがＥＳＳであるための１階十分条件は
任意のｉ≠ｈについて φih＜φhh − (26)
であることがわかります。
条件(26)は、相手がｈのときには自分もｈのときの結果が最善で、そ
れ以外の戦略をとったときの結果はそれより悪い、という評価をプレー
ヤー達が下す時に、戦略ｈが戦略修正ダイナミクスのＥＳＳとなること
を示しています。この条件を条件(25)と比較すると、ダーウィン適応度
とそれに対する評価の違いがあるだけで良く似た条件であることが分か
ります。実際、利得行列の第ｈ列について、結果Ｒihのときのダーウィ
ン適応度の変化ｗihと、Ｒihの評価φihの大小関係が一致している場合
には、「条件(25)ならば条件(26)」が成立します。したがって、そのよ
うな評価関数をもちいる戦略修正アルゴリズムはＥＳ戦略修正アルゴリ
ズムの候補であることがわかります。
ここで例えば、相互作用によるダーウィン適応度の変化とそれに対す
る評価の大小関係が常に一致するような評価関数Φを考えると、Φを用
いる戦略修正アルゴリズムでは、利得行列の第ｈ列についてダーウィン
適応度の変化ｗとそれに対する評価φの大小関係が一致します。したが
って、ΦはゲームＧにおけるＥＳ戦略修正アルゴリズムの候補です。さ
らに、Φを用いる戦略修正アルゴリズムでは、任意のｎ×ｎゲームの利
得行列の任意の縦列について、ｗとφの大小関係が一致します。このこ
とは、Φを用いる戦略修正アルゴリズムは、任意のｎ×ｎゲームにおけ
るＥＳ戦略修正アルゴリズム（汎用ＥＳ戦略修正アルゴリズム）の候補
であることを示しています。
現実の社会的相互作用においては、ゲームごとに評価関数を使い分け
るのではなく、複数のゲームについて同じ評価関数が用いられている場
合が多いと考えられます。また、一般に資源やエネルギーの獲得はポジ
ティブに、資源やエネルギーの喪失はネガティブに評価されることが多
いですが、資源やエネルギーの獲得は通常、ダーウィン適応度を増やす
効果を持ち、資源やエネルギーの喪失は、ダーウィン適応度を減らす効
果を持つことを考えると、評価関数Φを用いる戦略修正アルゴリズムが
実際に汎用ＥＳ戦略修正アルゴリズムとして流布している可能性は高い
と考えられます。
今回は、進化的に安定な戦略修正アルゴリズム（の候補）について具
体的に検討することを通して、進化ゲーム利得とＮＭ効用の関係につい
て考えてきました。ＮＭ効用は相互作用の結果を評価する機能を持つと
考えられますが、模倣アルゴリズムのような戦略修正アルゴリズムを具
体的に想定することによって、進化ゲーム利得をＮＭ効用の関数として
表現することができました。さらに、ＮＭ効用の大小関係がダーウィン
適応度の大小関係と一致している場合には、そのようなＮＭ効用を用い
る戦略修正アルゴリズムは、任意のゲームについて（戦略自体は遺伝的
に継承されない場合でも）ＥＳＳの採用を指示する汎用ＥＳ戦略修正ア
ルゴリズムの候補となることが明らかとなりました。
次回（最終回）は、これまでの考察を踏まえて、進化ゲーム理論の理
論的射程、特に社会科学への適用可能性について考えていきましょう。