前回まで、進化ゲーム理論のアウトラインと、いくつかの具体的なゲ
ームについて説明してきました。進化ゲーム理論の基本的なアイディア
は「よく増える戦略ほど良く増える」という原理を微分方程式の形で定
式化して（これがレプリケーターダイナミクス）、系の挙動を局所安定
性解析で分析する（漸近安定点がＥＳＳや多型安定点）、というもので
した。進化ゲーム理論を数学的に定式化する上でかなめとなるものが、
第１回で説明した「進化ゲーム利得」の定式化です。夏休み講座の後半
では、「進化ゲーム利得」について考察することを通して、進化ゲーム
理論の社会科学への適用可能性について考えてみましょう。
まず、進化ゲーム利得の定義について復習しておきましょう。第１回
の(1)式、
dpi/dt＝(λ＋ｕi(x))pi − (1)
が、進化ゲーム利得の定義式でした。ここで、ｐiは戦略ｉの採用者の数、
λはｐiの内的自然増加率のうち戦略に無関係な成分、ｕi(x)がｐiの内
的自然増加率のうち戦略に依存する成分で、ｕi(x)が状態ｘにおける戦
略ｉの進化ゲーム利得です。
この定義式を眺めると、２つの疑問が浮かんできます。ｕi(x)は「ｐi
の内的自然増加率のうち戦略に依存する成分」であるわけですが、そも
そも戦略の採用者数ｐiはどのような仕組みで増加（あるいは減少）する
のだろう、というのが第１の疑問です。もう一つは(1)式で定義される進
化ゲーム利得とフォンノイマン・モルゲンシュテルン効用（ＮＭ効用）
との関係は、どうなのだろうという疑問です。実は、これらの疑問の間
には密接な関連があるのですが、今回はまず第１の疑問について考察し、
第２の疑問については次回に考察することにしましょう。
戦略の採用者数ｐiの増減メカニズムとしては、大きく分けて２つのも
のが考えられます。一つは出生死滅過程で、戦略ｉの採用者が誕生した
り死亡したりすると、その人数が変化することになります。もう一つは
戦略の採否過程で、プレーヤーが戦略ｉを新規に採用したり、採用を取
り止めたりすると、採用者数ｐiが増減します。前者のプロセスは、比較
的長いタイムスケール（数世代以上）における、戦略採用者数の変動を
もたらしますし、後者のプロセスは比較的短いタイムスケール（１世代
以内程度）における、戦略採用者数の変動をもたらします。
まず、出生死滅過程によるｐiの変化を考えてみましょう。微少時間
Δｔの間に戦略ｉの採用者一人につき、αΔｔの確率で出生死滅過程が
生じるとします。この過程の生起したプレーヤーは死亡し、ｗi人の子供
に置き換えられるものとします。ｗiは戦略ｉの採用者の子供の数の期待
値（ダーウィン適応度）をあらわすとします。出生死滅過程が各プレー
ヤーに独立に生じるとすると、Δｔの間に
αｐiΔｔ
回の出生死滅過程が発生します。
ここで、戦略ｉの採用者の子供がすべて戦略ｉの採用者となるとする
と、この間のｐiの増分Δpiは
Δpi＝αｗiｐiΔｔ−αｐiΔｔ
＝α(ｗi−１)ｐiΔｔ
となります。両辺をΔｔで割って、Δｔ→０とすると
dpi/dt＝α(ｗi−１)ｐi
ここで、ｗiを戦略に依存しない成分ｗと、戦略および集団の戦略分布
ｘに依存する成分ｗi(x)に分解すると
dpi/dt＝α(ｗ＋ｗi(x)−１)ｐi
＝(α(ｗ−１)＋αｗi(x))ｐi
となります。
これを(1)式と比較すると、この場合の進化ゲーム利得ｕi(x)は
ｕi(x)＝αｗi(x) − (15)
となることがわかります。すなわち、この場合の進化ゲーム利得は、ダ
ーウィン適応度の戦略依存成分に、出生死滅過程の生起率をかけた値に
なります。
(15)式をレプリケーターダイナミクスの基本式(4)に代入すると
dxi/dt＝α(ｗi(x)ーｗ(x))ｘi − (16)
となります（ｗ(x)は集団の平均適応度）。(16)の右辺をαで割っても、
ダイナミクスの速度が変わるだけで、解軌道や局所安定点は変化しませ
ん。通常はダイナミクスの速度が問題となることはあまりなく、解軌道
や局所安定点がわかれば十分という場合が多いので、この場合はダーウ
ィン適応度を進化ゲーム利得と考えてもさしつかえないことが分かりま
す。
このように、出生死滅過程によってｐiが変化する場合には、ダーウィ
ン適応度（子供の数の期待値）と進化ゲーム利得が等価となることが分
かりました。ただし、ここでは戦略ｉの採用者の子供がすべて戦略ｉの
採用者となることが仮定されています。親と子の戦略が一致するのは、
一つには戦略が遺伝する場合です。遺伝率が１のときには、親と子の戦
略は常に一致します。メイナード・スミスが最初に進化ゲームを定式化
した時には、遺伝による戦略の継承が仮定されていました。いくつかの
場合には、この仮定が妥当性を持つことが知られています。
親と子の戦略が一致するもう一つの場合は、親が子供を教育し、子供
がそれを受け入れる場合です。教育が完全に成功する場合には、親子の
戦略は一致しますので、この場合も(15)、(16)式が成立します。したが
って、親による教育が完全に行われる場合でも、進化ゲーム利得はダー
ウィン適応度と等価になります。
しかし、親による教育は常に成功するとはかぎりません。現実には親
子の戦略が異なる場合もありえます。そのような場合はどうなるのでし
ょうか？ 親の戦略がｉのとき、子の戦略がｊとなる確率をｑijとして、
この場合の進化ゲーム利得を考えてみましょう。
基本的な仮定は(15)式の場合と同じとすると、微少時間Δｔの間に戦
略ｊの採用者に生じる出生死滅過程は
αｐjΔｔ
回です。ここで生まれる子供が戦略ｉの採用者となる確率はｑjiですか
ら、ｐiの増分Δpiは
Δpi＝ΣαｐjｗjｑjiΔｔ−αｐiΔｔ
両辺をΔｔで割って、Δｔ→０とすると
dpi/dt＝Σαｐjｗjｑji−αｐi
＝(αΣｗjｑjiｐj/ｐi−α)ｐi
＝(αΣｗjｑjiｘj/ｘi−α)ｐi
となります。
これより、この場合の進化ゲーム利得ｕi(x)は
ｕi(x)＝αΣｗjｑjiｘj/ｘi − (16)
となります。このように、親による教育が完全でない場合には、進化ゲ
ーム利得はダーウィン適応度と、親子間の戦略推移確率に依存した値と
なります。
以上では、出生死滅過程によって、戦略の採用者が変化する場合につ
いて考えてきました。ここまでの考察では、プレーヤーが戦略の採用を
取り止めたり、別の戦略を新たに採用したりするプロセスは仮定してい
ませんでした。しかし、実際には学習や模倣による戦略の修正は広く見
られます。次にこのような戦略の採否過程による戦略採用者数の変化に
ついて考えていきましょう。
学習や模倣による戦略修正は通常、ある戦略を採用した結果をなんら
かの形で評価して、その評価結果が良ければ変更は行わず、悪ければ変
更を考慮する、という形で行われます。このとき、いくつかの戦略を試
した結果をもとに、よさそうな戦略に変更する、という方略が用いられ
ることもありますし、他のプレーヤーが用いている戦略のうち、よい結
果をもたらしている戦略を採用する、という方略が用いられることもあ
るでしょう。前者の方略による戦略修正が（狭義の）学習ですし、後者
の方略による戦略修正が模倣であると考えることができます。いずれの
方略にも
＜戦略採用＞ → ＜結果評価＞ → ＜戦略修正（非修正）＞
というアルゴリズムが共通しています。このアルゴリズムを「戦略修正
アルゴリズム」と呼ぶことにしましょう。
戦略修正アルゴリズム（結果をどのように評価し、どのようなときに
どのように戦略を変更するか）が分かれば、戦略の採否過程による戦略
採用者数の変化を知ることができます。現実にどのようなアルゴリズム
が用いられているかは、実証研究の問題ですが、ある程度は演繹的に推
測することができます。メイナード・スミスのテキスト『進化とゲーム
理論』第４章に登場する一つの定理（Harleyの定理）が考察の手掛かり
となります。
Harleyの定理とは、「進化的に安定な学習戦略が存在するならば、そ
れはＥＳＳを学ぶことができる学習戦略である。なぜならば、ＥＳＳを
学べない学習戦略には、ＥＳＳを学べる学習戦略が侵入可能であり、し
たがって進化的に安定な学習戦略にはなりえないからだ。」というもの
です。この定理を、模倣も含めた戦略修正アルゴリズム一般について拡
張してみましょう。
まず、ゲームＧ＝{Ｉ、Ｓ、π}を考えます。Ｉはプレーヤーの集合で、
Ｓは戦略の集合、πは利得関数でダーウィン適応度の増減を示すものと
します。ゲームＧにおいて、有限回の戦略修正の後に戦略ｓ∈Ｓを採用
し、その後は戦略ｓを採用し続けることを指示する戦略修正アルゴリズ
ムの集合を、Ａ(s)とします。最初の戦略修正期間は、そのあとの期間に
比べて、十分短いものとします。Ａ(s)は任意のｓについて空集合ではな
いとし、ｓ*をゲームＧにおける唯一のＥＳＳであるとします（ＥＳＳが
複数あってもいいですが、簡単のためにＥＳＳは一つとしましょう）。
次に、ある戦略修正アルゴリズムの採用者の数は、出生死滅過程のみ
によって変動し、親子の戦略修正アルゴリズムは（遺伝や教育によって）
一致しているものとします。(15)より、このときある戦略アルゴリズム
ａi∈Ａ(i)の進化ゲーム利得ｕai(x)は、（初期修正期間の利得を無視す
れば）戦略ｉのダーウィン適応度ｗi(x)と等価になります。
ここで、進化的に安定な戦略修正アルゴリズムを定義しましょう。戦
略修正アルゴリズムの集合、Ａ＝∪Ａ(s)に属する任意の戦略修正アルゴ
リズムを複製子とするレプリケーターダイナミクスにおいて、ある戦略
修正アルゴリズムａ*∈Ａが集団全体を占める状態が漸近安定であるとき、
ａ*を進化的に安定な戦略修正アルゴリズムということにします。
このとき、次の命題が成立します。
[命題] 進化的に安定な戦略修正アルゴリズムａ*が存在する
ならば、ａ*∈Ａ(s*)である。 − (17)
[証明] ａ*がＡ(s*)に属しないと仮定する。このとき、ａ*は初
期修正期間ののちにある戦略ｊを採用することを指示するが、
ａ*がＡ(s*)に属さないので、戦略ｊはＥＳＳではない。戦略ｊ
はＥＳＳではないので、ｊを採用する集団にはｊ以外の戦略が
侵入可能である。この戦略をｋとする。
ここで、戦略修正アルゴリズムａk∈Ａ(k)を考えると、ａkは
戦略ｋの採用を指示するため、ａ*からなる集団に侵入可能であ
る。したがって、集団全体をａ*が占める状態は漸近安定ではな
い。これはａ*が進化的に安定な戦略修正アルゴリズムであると
いう仮定と矛盾する。ゆえにａ*∈Ａ(s*)である。
（証明終わり）
この命題は、進化的に安定な戦略修正アルゴリズムが存在するならば、
それはＥＳＳの採用を指示する戦略修正アルゴリズムであることを示し
ています。現実に用いられている戦略修正アルゴリズム（学習アルゴリ
ズムや模倣アルゴリズム）は、学習によって獲得されるというよりは、
生得的に獲得されているらしいこと、したがって、それが遺伝的に継承
されているらしいことを考えると（ニューズレター6/10参照）、進化的
に安定な戦略修正アルゴリズムが流布して可能性は高いと考えられます。
そうであるならば、戦略自体は遺伝的に継承されない場合でも、学習や
模倣などの戦略採否過程を通して、ダーウィン適応度で定義されたＥＳ
Ｓが採用されるようになる（そして実際に採用されている）可能性があ
ることが分かります。命題(17)はその意味で、進化ゲーム理論を社会科
学に適用するさいの根拠の一つとなるものです。
今回は、戦略の採用者数ｐiが変化するメカニズムについて考察してき
ました。ｐiが変化するメカニズムは、出生死滅過程と戦略採否過程に大
別できます。出生死滅過程による増減の場合、遺伝や教育によって親子
の戦略が一致する場合には、進化ゲーム利得はダーウィン適応度と等価
になることが分かりました。戦略採否過程による増減は学習や模倣等の
戦略修正アルゴリズムによって生じますので、戦略修正アルゴリズムに
ついて知ることが必要ですが、戦略修正アルゴリズムが遺伝的に継承さ
れる場合には、命題(17)が成立することが分かりました。これより、進
化的に安定な戦略修正アルゴリズムが存在するときには、学習や模倣に
よってＥＳＳが採用されることが期待されます。
ただ命題(17)は、「進化的に安定な戦略修正アルゴリズムが存在する
ならば」というロジックなので、存在の証明はされていませんし、具体
的にどのような戦略修正アルゴリズムが進化的に安定な戦略修正アルゴ
リズムなのかも、分かりません。次回は、まずこの問題について考えて
みることにしましょう。この問題を考えることによって、進化ゲーム利
得とフォンノイマン・モルゲンシュテルン効用との関係についてもある
程度の見通しがついてくるはずです。