夏休み講座第１回で進化ゲーム利得について定義し、第２回でレプリ
ケーターダイナミクスの漸近安定点としてＥＳＳを定義しました。しか
し、これらの関係については明示的には議論してませんでしたので、こ
こで少し考えておきましょう。
対称ゲームＧ＝{Ｉ、Ｓ、Ｕ}を考えます。Ｉはプレーヤーの集合で、
Ｓは戦略の集合、Ｕは進化ゲーム利得ではかった利得関数です。このゲ
ームで戦略ｋがＥＳＳとなる条件を考えてみましょう。ただし、簡単の
ため１階の局所安定性条件までを考えることにします。
戦略ｉ(≠ｋ)の進化ゲーム利得をｕi(x)とすると、レプリケーターダ
イナミクスは
dxi/dt＝(ｕi(x)ーｕ(x))ｘi − (4)
となりますが（第１回 ４式）、これは一般には
dxi/dt＝ｇi(x)・ｘi − (18)
と書くことができます。
戦略ｋが集団全体を占める状態は、単位ベクトルｅkで表現できますが、
ｘ＝ｅkのとき、任意のｉ∈Ｓ、ただしｉ≠ｋについて
dxi/dt＝０
なので状態ｅkは定常点です。
ここで、状態ｅkの１階の局所安定性条件は、ｉｊ成分がｆij(ek)であ
るヤコビ行列の固有値がすべて負になることです。ただし、
ｆi(x)＝ｇi(x)・ｘi
ｆij(ek)＝∂fi/∂xj｜x=ek
です。
ｉ≠ｊのとき、
ｆij(x)＝ｇij(x)・ｘi より ｆij(ek)＝０
また、 ｆii(x)＝ｇii(x)・ｘi＋ｇi(x) より ｆii(ek)＝ｇi(ek)
これよりヤコビ行列は対角行列となることがわかります。対角行列の
固有値は対角成分そのものなので、戦略ｋがＥＳＳとなるための１階の
十分条件は
任意のｉ∈Ｓ、(ｉ≠ｋ)について ｇi(ek)＜０ − (19)
であることがわかります。
レプリケーターダイナミクスの場合
ｇi(x)＝ｕi(x)ーｕ(x)
より
ｇi(ek)＝ｕi(ek)ーｕ(ek)
＝ｕi(ek)ーｕk(ek) （∵ｕ(x)＝Σxjｕj(x)）
したがって、戦略ｋがＥＳＳとなるための１階の十分条件は
任意のｉ∈Ｓ、(ｉ≠ｋ)について ｕi(ek)＜ｕk(ek) − (20)
となります。
以上のように、一般に進化ゲーム利得がわかれば、ある戦略がＥＳＳ
かどうかを判断することができることが分かります。