過去２回は２×２ゲームのＥＳＳについて考えましたが、今回は３×
３対称ランダムマッチングゲームのＥＳＳについて考えてみましょう。
３×３ゲームについて考えておけば、同様な方法でｎ×ｎゲームに拡張
することが可能になります。
戦略セットを｛１、２、３｝とし、戦略ｉが戦略ｊと相互作用した時
に、進化ゲーム利得がａij増加するような結果が生じるものとします。
このとき、利得行列は
｜ １ ２ ３
−−−−−−−−−−−−−−−−
１ ｜ ａ11 ａ12 ａ13
２ ｜ ａ21 ａ22 ａ23
３ ｜ ａ31 ａ32 ａ33
となります。以下では、この利得行列をＡと表記しましょう。
次に、プレーヤー集団における戦略ｉのシェアをｘiと書くことにしま
す。またｘ＝(ｘ1,ｘ2,ｘ3)を、集団の戦略分布をしめす行ベクトルとし
ます。このとき、ｘiの時間変化率 dxi/dt は
dxi/dt＝(ｕi(x)−ｕ(x))xi
＝(ｅiＡｘ'−ｘＡｘ')xi − (12)
となります。ここで、ｅiは第ｉ成分が１の単位ベクトル、ｘ'はｘ＝
(ｘ1,ｘ2,ｘ3)を転置した列ベクトルです。
この系の状態空間は、
ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝１、
０≦ｘi≦１（ｉ＝１、２、３）
より、
ｅ1＝(1,0,0)、ｅ2＝(0,1,0)、ｅ3＝(0,0,1)
を頂点とする三角形となります。また、これらの各頂点はレプリケータ
ーダイナミクス(12)の定常点となります（確認してみて下さい）。
以下では、これらの頂点がどのような場合に漸近安定となるのか、局
所安定性解析を用いて調べてみることにしましょう。
例として、ｅ1＝(1,0,0)の安定性を考えます。これが漸近安定なら、
戦略１はＥＳＳとなります。
まず、ｘ1＝１−ｘ2−ｘ3 より dx1/dt＝−dx2/dt−dx3/dt
なので、
dx2/dtとdx3/dtについて調べれば、この系の安定性がわかることがわか
ります。（２変数の局所安定性解析についても、ニューズレター7/8参照）
(12)より
dx2/dt＝f2(x)＝(ｅ2Ａｘ'−ｘＡｘ')x2
dx3/dt＝f3(x)＝(ｅ3Ａｘ'−ｘＡｘ')x3
このときヤコビ行列は
f22(e1) f23(e1)
f32(e1) f33(e1)
となります 。（ ただし、fij(e1)＝∂fi/∂xj |x=e1 ）
以下順に成分を求めていきましょう。
まず、∂x1/∂x2＝−１に気をつけてｘを x2
で偏微分すると
∂ｘ/∂x2＝(∂x1/∂x2、∂x2/∂x2、∂x3/∂x2)
＝(−１、１、0)
＝ｅ2−ｅ1
これを用いて、f2(x)を x2 で偏微分すると
∂f2/∂x2＝(e2Ａ(e2−e1)'−(e2−e1)Ａｘ'−ｘＡ(e2−e1)')x2
＋(ｅ2Ａｘ'−ｘＡｘ')
したがって、
f22(e1)＝ｅ2Ａｅ1'−ｅ1Ａｅ1'
＝ａ21−ａ11
また、f2(x)を x3 で偏微分すると
∂f2/∂x3＝(e2Ａ(e3−e1)'−(e3−e1)Ａｘ'−ｘＡ(e3−e1)')x2
したがって、
f23(e1)＝０
同様に計算すると
f32(e1)＝０、 f33(e1)＝ａ31−ａ11
以上よりヤコビ行列は
ａ21−ａ11 ０
０ ａ31−ａ11
となり、対角行列となります。（ｎ×ｎゲームでもヤコビ行列は対角行
列となります）
対角行列の固有値は対角成分そのものなので、ヤコビ行列の固有値は
λ＝ａ21−ａ11、ａ31−ａ11
です。これがいずれも負の場合に、状態ｅ1＝(1,0,0)は漸近安定となり
ます。逆に、少なくとも一つの固有値が正の場合に、状態ｅ1＝(1,0,0)
は不安定となります。
したがって、戦略１は
ａ21＜ａ11 かつ ａ31＜ａ11 の場合にＥＳＳ
ａ21＞ａ11 または ａ31＞ａ11 の場合にＥＳＳではない
− (13)
ことがわかります。利得行列の第１列の成分を比べて、他の成分がすべ
てａ11より小さければ、いずれの戦略も侵入不可能で戦略１がＥＳＳ、
ａ11より大きな成分があれば、それに対応する戦略が侵入可能となり、
戦略１はＥＳＳではなくなります。
ではａ11と同じ成分がある場合（でかつそれ以外はａ11より小さい場
合）はどうなるのでしょうか。これは最大固有値が０の場合に相当しま
すが、２×２ゲームの場合と同様に、テーラー展開の２次以下の項まで
考慮して、局所安定性を考える必要があります。
一つの例として、ａ21＝ａ11 でかつ ａ31＜ａ11 の場合について
考えましょう。
f2(x)をｘ＝ｅ1のまわりでテーラー展開すると
f2(x)＝f2(e1)＋f22(e1)x2＋f23(e1)x3
＋(f222(e1)x2^2＋2f223(e1)x2x3＋f233(e1)x3^2)/2!
＋３次以下の項
となります。
ａ21＝ａ11 より f22(e1)＝０、また f2(e1)＝０、f23(e1)＝０
なの
で３次以下の項を無視すると
dx2/dt＝f2(x)
＝(f222(e1)x2^2＋2f223(e1)x2x3＋f233(e1)x3^2)/2!
となります。
したがって、それぞれの偏微分係数が負ならば dx2/dt＜０
となり、
状態ｅ1＝(1,0,0)は漸近安定となります。（ａ31＜ａ11なので、dx3/dt
は１次の項でマイナス）
以下それぞれの偏微分係数を求めてみましょう。
f222(x)＝∂f22/∂x2
＝(e2Ａ(e2−e1)'−(e2−e1)Ａｘ'−ｘＡ(e2−e1)')
＋(−(e2−e1)Ａ(e2−e1)'−(e2−e1)Ａ(e2−e1)')x2
＋(ｅ2Ａ(e2−e1)'−(e2−e1)Ａｘ'−ｘＡ(e2−e1)')
＝2(e2Ａ(e2−e1)'−(e2−e1)Ａｘ'−ｘＡ(e2−e1)')
−2(e2−e1)Ａ(e2−e1)'x2
より
f222(e1)＝2(e2Ａ(e2−e1)'−(e2−e1)Ａe1'−e1Ａ(e2−e1)')
＝2(ａ22−ａ21−ａ21＋ａ11−ａ12＋ａ11)
＝2(ａ22−ａ12) （∵ ａ21＝ａ11）
同様に計算して
f223(e1)＝(2ａ11−ａ13−ａ31)＋(ａ23−ａ21)
f233(e1)＝０
したがって、
ａ22−ａ12＜０ かつ (2ａ11−ａ13−ａ31)＋(ａ23−ａ21)＜０
のときは、状態ｅ1は漸近安定となります。
また、ダイナミクスを考えると
ｋ1＝ａ22−ａ12 、 ｋ2＝(2ａ11−ａ13−ａ31)＋(ａ23−ａ21)
としたとき
ｋ1＞０ かつ ｋ2＞０ のとき ｅ1は不安定
ｋ1＞０ かつ ｋ2＜０ のとき ｅ1は鞍点
ｋ1＜０ かつ ｋ2＞０ のとき ｅ1は漸近安定
ｋ1＝０ かつ ｋ2＞０ のとき ｅ1は不安定
ｋ1＝０ かつ ｋ2＜０ のとき ｅ1は漸近安定
ｋ1＝０ かつ ｋ2＝０ のとき ｅ1はリャプノフ安定
となることがわかります。
これらより、戦略１は
ａ22＜ａ12 のとき ＥＳＳ
ａ22＞ａ12 のとき ＥＳＳではない
ａ22＝ａ12 のときは
(2ａ11−ａ13−ａ31)＋(ａ23−ａ21)＜０ のとき ＥＳＳ
(2ａ11−ａ13−ａ31)＋(ａ23−ａ21)＞０ のとき ＥＳＳでない
(2ａ11−ａ13−ａ31)＋(ａ23−ａ21)＝０ のとき ＮＳＳ
− (14)
という結果が得られます。
ａ21＜ａ11 でかつ ａ31＝ａ11 の場合や ａ21＝ａ11 でかつ
ａ31＝ａ11 の場合についても、同様の方法で局所安定性を調べること
ができます。
(13)、(14)から、３×３ゲームの純粋戦略ＩがＥＳＳであるかどうか
を判断するには、次のようにすれば良いことがわかります。
まず利得行列の戦略Ｉに対応する縦列の利得を比較します。ａiiより
も利得の大きくなる戦略があれば、ＩがＥＳＳではありません。縦列の
（ａii以外の）利得がすべてａiiより小さければ、ＩはＥＳＳです。
縦列にａiiと同じ利得となる戦略Ｊが存在し（複数あってもよい）、
それ以外の利得がａiiより小さければ、今度はａijとａjjを比較します。
ａij＞ａjjならＩはＥＳＳですが、ａij＜ａjjならＩはＥＳＳではあり
ません。
ａij＝ａjjの場合はさらに、(2ａii−ａik−ａki)＋(ａjk−ａji)の値
を調べます（ｋ≠i,j）。この値が負ならばＩはＥＳＳですが、正ならば
ＩはＥＳＳではありません。最後に０ならばＩはＮＳＳとなります。
多くの場合、第１段階の比較でＥＳＳかどうかの判断ができます。第
２段階の比較まで行えば、ほとんどの場合でＥＳＳかどうか判別できま
す。同様にｎ×ｎゲームの場合でも、この段階までの比較を行えば、ほ
とんどの場合でＥＳＳを判定することができます。
以下では、３×３ゲームの若干の例を見ておきましょう。
《タカ・ハト・ブルジョアゲーム》
｜ Ｈ Ｄ Ｂ
−−−−−−−−−−−−−−−−
Ｈ ｜ −１ ４ 3/2
Ｄ ｜ ０ ２ １
Ｂ ｜ −1/2 ３ ２
前回、タカ・ハトゲームを紹介しましたが、これにブルジョア戦略
（所有者ならばタカ、非所有者ならばハトをとる戦略）を加えた、タカ
・ハト・ブルジョアゲームを考えてみましょう。ここで＜所有者＞とい
うのは、なわばりの所有者のように実際にそこで暮らしている個体でも
いいですし、単に資源のある場所に先着した個体であってもかまいませ
ん。プレーヤーの間でどちらが＜所有者＞かわかるような（そして同時
には所有者にはなれないような）基準があれば十分です。
あるプレーヤーが＜所有者＞になるか＜非所有者＞になるかは、確率
1/2で、プレーヤーの戦略とは独立に決まるものとすると、上のような利
得行列が得られます（資源の価値は前回と同様に４、闘争のコストは６
としています）。これより、どの戦略がＥＳＳとなるかを調べてみまし
ょう。
まずタカ戦略(Ｈ）は第１列をみてみると、タカ・タカのときの利得
をハト・タカやブルジョア・タカの利得が上回っていますのでＥＳＳで
はありません。次にハト戦略(Ｄ)については第２列より、ハト・ハトの
利得をタカ・ハトやブルジョア・ハトの利得が上回っていますので、や
はりＥＳＳではありません。
最後にブルジョア戦略(Ｂ)については第３列より、ブルジョア・ブル
ジョアの利得がタカ・ブルジョアの利得やハト・ブルジョアの利得を上
回ってますので、ＥＳＳとなることがわかります。以上より、このゲー
ムではブルジョア戦略が唯一のＥＳＳとなります。
ブルジョア戦略が集団全体に流布している時、非所有者は所有者に必
ず資源を譲ります。したがって、資源をめぐる闘争は常に回避されるこ
とになります。メイナード・スミスはこのようなロジックで、動物の社
会で見られる「儀式的闘争」について説明することを試みました。
《じゃんけんゲーム》
｜ Ｇ Ｃ Ｐ
−−−−−−−−−−−−−−−−
Ｇ ｜ ０ １ −１
Ｃ ｜ −１ ０ １
Ｐ ｜ １ −１ ０
最も身近な３×３ゲームといえば、やはりじゃんけんでしょう。負け
た方が勝った方に資源を１渡すとルールでじゃんけんをすると、上のよ
うな利得行列になります。
利得行列から、グー(Ｇ)にはパー(Ｐ)
が侵入可能で、チョキ(Ｃ)には
グー(Ｇ)が侵入可能と分かります。また、パー(Ｐ)にはチョキ(Ｃ)が侵
入可能なので、いずれの戦略もＥＳＳではありません。
そこで次に、内部定常点の安定性を吟味してみることにします。
dx1/dt＝dx2/dt＝dx3/dt＝０
と置いて、内部定常点を求めると、(1/3,1/3,1/3)が定常であることがわ
かります。
(1/3,1/3,1/3)におけるヤコビ行列を求めると
1/3 2/3
−2/3 −1/3
したがって、ヤコビ行列の固有値は
λ＝±1/√3ｉ
となります。
これより、固有値の実部は０なので、内部定常点はリャプノフ安定で
あることがわかります。したがって、内部定常点は多型安定ではありま
せん。また、固有値が複素数ということは、内部定常点が渦状点である
ことを示しています。内部定常点から状態がずれた場合は、そのまま内
部定常点の周囲を回り続けるダイナミクスが生じると考えられます。
以上、３×３ゲームのＥＳＳとダイナミクスについてみてきました。
この場合もレプリケーターダイナミクスを局所安定性解析すれば、およ
その挙動を知ることができます。
今回の講座では、進化ゲームの各論の説明はここで一旦打ち切ること
にします。以下では進化ゲームのロジックを再検討することを通して、
進化ゲームの社会科学への適用可能性について考えていきましょう。