第 4 回
3 x 3 ゲームの ESS


  過去2回は2×2ゲームのESSについて考えましたが、今回は3×
 3対称ランダムマッチングゲームのESSについて考えてみましょう。
 3×3ゲームについて考えておけば、同様な方法でn×nゲームに拡張
 することが可能になります。

  戦略セットを{1、2、3}とし、戦略iが戦略jと相互作用した時
 に、進化ゲーム利得がaij増加するような結果が生じるものとします。
 このとき、利得行列は

        |  1   2   3
     −−−−−−−−−−−−−−−−
      1 | a11  a12  a13
      2 | a21  a22  a23
      3 | a31  a32  a33

 となります。以下では、この利得行列をAと表記しましょう。

  次に、プレーヤー集団における戦略iのシェアをxiと書くことにしま
 す。またx=(x1,x2,x3)を、集団の戦略分布をしめす行ベクトルとし
 ます。このとき、xiの時間変化率 dxi/dt は
     dxi/dt=(ui(x)−u(x))xi
        =(eiAx'−xAx')xi   − (12)
 となります。ここで、eiは第i成分が1の単位ベクトル、x'はx=
 (x1,x2,x3)を転置した列ベクトルです。

  この系の状態空間は、
    x1+x2+x3=1、
    0≦xi≦1(i=1、2、3)
 より、
    e1=(1,0,0)、e2=(0,1,0)、e3=(0,0,1)
 を頂点とする三角形となります。また、これらの各頂点はレプリケータ
 ーダイナミクス(12)の定常点となります(確認してみて下さい)。
  以下では、これらの頂点がどのような場合に漸近安定となるのか、局
 所安定性解析を用いて調べてみることにしましょう。

  例として、e1=(1,0,0)の安定性を考えます。これが漸近安定なら、
 戦略1はESSとなります。
  まず、x1=1−x2−x3 より dx1/dt=−dx2/dt−dx3/dt なので、
 dx2/dtとdx3/dtについて調べれば、この系の安定性がわかることがわか
 ります。(2変数の局所安定性解析についても、ニューズレター7/8参照)

  (12)より
     dx2/dt=f2(x)=(e2Ax'−xAx')x2
     dx3/dt=f3(x)=(e3Ax'−xAx')x3
 このときヤコビ行列は
      f22(e1) f23(e1)
      f32(e1) f33(e1)
 となります 。( ただし、fij(e1)=∂fi/∂xj |x=e1 )
  以下順に成分を求めていきましょう。

  まず、∂x1/∂x2=−1に気をつけてxを x2 で偏微分すると
    ∂x/∂x2=(∂x1/∂x2、∂x2/∂x2、∂x3/∂x2) 
         =(−1、1、0) 
         =e2−e1 
 これを用いて、f2(x)を x2 で偏微分すると
    ∂f2/∂x2=(e2A(e2−e1)'−(e2−e1)Ax'−xA(e2−e1)')x2      
      +(e2Ax'−xAx')
 したがって、
    f22(e1)=e2Ae1'−e1Ae1'
        =a21−a11

  また、f2(x)を x3 で偏微分すると
    ∂f2/∂x3=(e2A(e3−e1)'−(e3−e1)Ax'−xA(e3−e1)')x2
 したがって、
    f23(e1)=0
 同様に計算すると
    f32(e1)=0、 f33(e1)=a31−a11

  以上よりヤコビ行列は
      a21−a11   0
        0   a31−a11
 となり、対角行列となります。(n×nゲームでもヤコビ行列は対角行
 列となります)

  対角行列の固有値は対角成分そのものなので、ヤコビ行列の固有値は
      λ=a21−a11、a31−a11
 です。これがいずれも負の場合に、状態e1=(1,0,0)は漸近安定となり
 ます。逆に、少なくとも一つの固有値が正の場合に、状態e1=(1,0,0)
 は不安定となります。

  したがって、戦略1は
    a21<a11 かつ  a31<a11 の場合にESS
    a21>a11 または a31>a11 の場合にESSではない
                          − (13)
 ことがわかります。利得行列の第1列の成分を比べて、他の成分がすべ
 てa11より小さければ、いずれの戦略も侵入不可能で戦略1がESS、
 a11より大きな成分があれば、それに対応する戦略が侵入可能となり、
 戦略1はESSではなくなります。
 
  ではa11と同じ成分がある場合(でかつそれ以外はa11より小さい場
 合)はどうなるのでしょうか。これは最大固有値が0の場合に相当しま
 すが、2×2ゲームの場合と同様に、テーラー展開の2次以下の項まで
 考慮して、局所安定性を考える必要があります。

  一つの例として、a21=a11 でかつ a31<a11 の場合について
 考えましょう。

  f2(x)をx=e1のまわりでテーラー展開すると
     f2(x)=f2(e1)+f22(e1)x2+f23(e1)x3
         +(f222(e1)x2^2+2f223(e1)x2x3+f233(e1)x3^2)/2!
         +3次以下の項
 となります。      

  a21=a11 より f22(e1)=0、また f2(e1)=0、f23(e1)=0 なの
 で3次以下の項を無視すると
     dx2/dt=f2(x)
        =(f222(e1)x2^2+2f223(e1)x2x3+f233(e1)x3^2)/2!
 となります。
  したがって、それぞれの偏微分係数が負ならば dx2/dt<0 となり、
 状態e1=(1,0,0)は漸近安定となります。(a31<a11なので、dx3/dt
 は1次の項でマイナス)

  以下それぞれの偏微分係数を求めてみましょう。
     f222(x)=∂f22/∂x2
         =(e2A(e2−e1)'−(e2−e1)Ax'−xA(e2−e1)')    
          +(−(e2−e1)A(e2−e1)'−(e2−e1)A(e2−e1)')x2    
          +(e2A(e2−e1)'−(e2−e1)Ax'−xA(e2−e1)')
         =2(e2A(e2−e1)'−(e2−e1)Ax'−xA(e2−e1)')    
          −2(e2−e1)A(e2−e1)'x2    
 より
     f222(e1)=2(e2A(e2−e1)'−(e2−e1)Ae1'−e1A(e2−e1)') 
         =2(a22−a21−a21+a11−a12+a11)
         =2(a22−a12)  (∵ a21=a11)

  同様に計算して
     f223(e1)=(2a11−a13−a31)+(a23−a21)
     f233(e1)=0

  したがって、
   a22−a12<0 かつ (2a11−a13−a31)+(a23−a21)<0 
 のときは、状態e1は漸近安定となります。

  また、ダイナミクスを考えると
   k1=a22−a12 、 k2=(2a11−a13−a31)+(a23−a21)
 としたとき
   k1>0 かつ k2>0 のとき e1は不安定
   k1>0 かつ k2<0 のとき e1は鞍点
   k1<0 かつ k2>0 のとき e1は漸近安定
   k1=0 かつ k2>0 のとき e1は不安定
   k1=0 かつ k2<0 のとき e1は漸近安定
   k1=0 かつ k2=0 のとき e1はリャプノフ安定
 となることがわかります。

 これらより、戦略1は
   a22<a12 のとき ESS
   a22>a12 のとき ESSではない
   a22=a12 のときは 
     (2a11−a13−a31)+(a23−a21)<0 のとき ESS
     (2a11−a13−a31)+(a23−a21)>0 のとき ESSでない
     (2a11−a13−a31)+(a23−a21)=0 のとき NSS
                            − (14)
          
 という結果が得られます。
   
  a21<a11 でかつ a31=a11 の場合や a21=a11 でかつ 
 a31=a11 の場合についても、同様の方法で局所安定性を調べること
 ができます。

  (13)、(14)から、3×3ゲームの純粋戦略IがESSであるかどうか
 を判断するには、次のようにすれば良いことがわかります。
  まず利得行列の戦略Iに対応する縦列の利得を比較します。aiiより
 も利得の大きくなる戦略があれば、IがESSではありません。縦列の
 (aii以外の)利得がすべてaiiより小さければ、IはESSです。
  縦列にaiiと同じ利得となる戦略Jが存在し(複数あってもよい)、
 それ以外の利得がaiiより小さければ、今度はaijとajjを比較します。
 aij>ajjならIはESSですが、aij<ajjならIはESSではあり
 ません。
  aij=ajjの場合はさらに、(2aii−aik−aki)+(ajk−aji)の値
 を調べます(k≠i,j)。この値が負ならばIはESSですが、正ならば
 IはESSではありません。最後に0ならばIはNSSとなります。

  多くの場合、第1段階の比較でESSかどうかの判断ができます。第
 2段階の比較まで行えば、ほとんどの場合でESSかどうか判別できま
 す。同様にn×nゲームの場合でも、この段階までの比較を行えば、ほ
 とんどの場合でESSを判定することができます。

  以下では、3×3ゲームの若干の例を見ておきましょう。

  《タカ・ハト・ブルジョアゲーム》

        |  H   D   B
     −−−−−−−−−−−−−−−−
      H | −1   4   3/2
      D |  0   2   1
      B | −1/2   3   2

  前回、タカ・ハトゲームを紹介しましたが、これにブルジョア戦略
 (所有者ならばタカ、非所有者ならばハトをとる戦略)を加えた、タカ
 ・ハト・ブルジョアゲームを考えてみましょう。ここで<所有者>とい
 うのは、なわばりの所有者のように実際にそこで暮らしている個体でも
 いいですし、単に資源のある場所に先着した個体であってもかまいませ
 ん。プレーヤーの間でどちらが<所有者>かわかるような(そして同時
 には所有者にはなれないような)基準があれば十分です。
  あるプレーヤーが<所有者>になるか<非所有者>になるかは、確率
 1/2で、プレーヤーの戦略とは独立に決まるものとすると、上のような利
 得行列が得られます(資源の価値は前回と同様に4、闘争のコストは6
 としています)。これより、どの戦略がESSとなるかを調べてみまし
 ょう。

  まずタカ戦略(H)は第1列をみてみると、タカ・タカのときの利得
 をハト・タカやブルジョア・タカの利得が上回っていますのでESSで
 はありません。次にハト戦略(D)については第2列より、ハト・ハトの
 利得をタカ・ハトやブルジョア・ハトの利得が上回っていますので、や
 はりESSではありません。
  最後にブルジョア戦略(B)については第3列より、ブルジョア・ブル
 ジョアの利得がタカ・ブルジョアの利得やハト・ブルジョアの利得を上
 回ってますので、ESSとなることがわかります。以上より、このゲー
 ムではブルジョア戦略が唯一のESSとなります。

  ブルジョア戦略が集団全体に流布している時、非所有者は所有者に必
 ず資源を譲ります。したがって、資源をめぐる闘争は常に回避されるこ
 とになります。メイナード・スミスはこのようなロジックで、動物の社
 会で見られる「儀式的闘争」について説明することを試みました。

  《じゃんけんゲーム》

        |  G   C   P
     −−−−−−−−−−−−−−−−
      G |  0   1  −1
      C | −1   0   1 
      P |  1  −1   0

  最も身近な3×3ゲームといえば、やはりじゃんけんでしょう。負け
 た方が勝った方に資源を1渡すとルールでじゃんけんをすると、上のよ
 うな利得行列になります。
  利得行列から、グー(G)にはパー(P) が侵入可能で、チョキ(C)には
 グー(G)が侵入可能と分かります。また、パー(P)にはチョキ(C)が侵
 入可能なので、いずれの戦略もESSではありません。

  そこで次に、内部定常点の安定性を吟味してみることにします。
     dx1/dt=dx2/dt=dx3/dt=0
 と置いて、内部定常点を求めると、(1/3,1/3,1/3)が定常であることがわ
 かります。

  (1/3,1/3,1/3)におけるヤコビ行列を求めると
       1/3  2/3
      −2/3 −1/3  
 したがって、ヤコビ行列の固有値は
      λ=±1/√3i
 となります。

  これより、固有値の実部は0なので、内部定常点はリャプノフ安定で
 あることがわかります。したがって、内部定常点は多型安定ではありま
 せん。また、固有値が複素数ということは、内部定常点が渦状点である
 ことを示しています。内部定常点から状態がずれた場合は、そのまま内
 部定常点の周囲を回り続けるダイナミクスが生じると考えられます。

  以上、3×3ゲームのESSとダイナミクスについてみてきました。
 この場合もレプリケーターダイナミクスを局所安定性解析すれば、およ
 その挙動を知ることができます。

  今回の講座では、進化ゲームの各論の説明はここで一旦打ち切ること
 にします。以下では進化ゲームのロジックを再検討することを通して、
 進化ゲームの社会科学への適用可能性について考えていきましょう。